\(% 自動抽出されたマクロ定義
% 元ファイル: 幾何のお話.tex
% 生成日時: 2026-02-15 21:52:14
% MathJax用の標準コマンド定義
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\)
INTRODUCTION
出来るだけ簡単かつ直観的な幾何学の説明をする。ここではこのための 準備をする。
はじめに物理において幾何学を用いることが適していると考える理由から述べよう。 例えば、粒子が適当な運動をしているとしよう。その時、普通はある適当な座標系 を選んでこの粒子の運動を記述するだろう。しかし、どんな座標系を選ぶかという ことは物理的に本質的なことではないだろう。或いは、なにかある現象を語る際に、 なにか特別な座標系に固執しなければならない理由はない。電荷が保存することは 座標系の取り方とは無関係であるはずである。
以上のことから、物理を座標系の取り方によらないように記述することは理にかなっている。 そればかりかそのように記述することにより多くのことが簡略化される。
はじめのうちは、座標系を具体的にとって議論しているが、もちろんはじめから 座標を具体的に表すことなく議論することも出来るが、分かりやすさを何よりも 重視したかったので、敢えて座標系を具体的にとって話を展開した。 それでもその座標系の取り方は任意であり、また、次第に成分を具体的に書くこと が少なくなるであろう。
幾何学とおおざっぱに言ってきたが、具体的には対象とするのは可微分多様体というもの である。直観的にこれを説明すると、例えば、Euclid空間のような、その空間の どの点を取っても、その点の十分近くでは座標系（直交座標系である必要はない） を取ることが出来るようなもの。実質的には、考えている空間の次元より 大きな次元を持つ空間のある部分空間と考えて良い。 以下ではその空間を\(M\)で表し、その空間の次元は\(n\)次元であるとする。
ここでは主に微分形式について、その扱いや概念に慣れることを目的にしているので、 あまり詳しくは書いてない。
ベクトル場
空間\(M\)に、ある座標系
\begin{eqnarray} \v {q}:=(q^1,q^2,\cdots ,q^n) \nonumber \end{eqnarray}
をとる。\(M\)の各点で定義されたベクトル
\(\v {v}=(v^1(\v {q}),v^2(\v {q}),\cdots ,v^n(\v {q}))\) と連立微分方程式
\begin{eqnarray} \frac {\d q^i_t}{\d t}=v^i(\v {q}_t)\ \ (i=1,2,\cdots ,n) \label {bibunhouteisiki} \end{eqnarray}
が与えられた時、この連立微分方程式を解くことで与えられる
\begin{eqnarray} \v {q}_t=(q_t^1,q_t^2,\cdots ,q_t^n) \nonumber \end{eqnarray}
を\(t\)をパラメーターとした曲線という。
\(t=0\)での位置\(\v {q}\)を決めれば(1)式から任意の\(t\)での \(\v {q}_t\)が一意的に定まる。
\begin{eqnarray} \v {q}_t=:\phi _t(\v {q}) \end{eqnarray}
とし、\(\phi _t\)をflowという。
\(\phi _t\)は
\begin{eqnarray} \phi _t\cdot \phi _s\!\!&=&\!\!\phi _{t+s}\\ \phi _0\!\!&=&\!\!1 \end{eqnarray}
を満たす。
\(M\)上の関数\(f(\v {q})\)に対し、\(\phi ^*_t\)を
\begin{eqnarray} \phi ^*_tf(\v {q}):=f(\v {q}) \end{eqnarray}
と定める。この時、\(f\)の\(\v {v}\)に沿った微分（フロー微分）は
\begin{eqnarray} \frac {\d }{\d t}\phi ^*_tf(\v {q}) &=&\frac {\d }{\d t}f(\v {q}_t) \nonumber \\ &=&v^i(\v {q}_t)\frac {\pd f(\v {q}_t)}{\pd q^i_t} \nonumber \\ &=&v^j(\v {q})\frac {\pd q^i_t}{\pd q^j}\frac {\pd f(\v {q}_t)}{\pd q^i_t} \nonumber \\ &=&v^j(\v {q})\frac {\pd }{\pd q^j}f(\v {q}_t) \nonumber \\ &=&v^j(\v {q})\frac {\pd }{\pd q^j}\phi ^*_tf(\v {q}) \end{eqnarray}
従って、
\begin{eqnarray} \frac {\d }{\d t}\phi ^*_t=v^i(\v {q})\frac {\pd }{\pd q^i}\phi ^*_t \label {flowbibun} \end{eqnarray}
が成り立つ。よって、形式的には
\begin{eqnarray} \frac {\d }{\d t}=v^i(\v {q})\frac {\pd }{\pd q^i} \end{eqnarray}
と書ける。これを
\begin{eqnarray} \bar {\v {v}}:=v^i\frac {\pd }{\pd q^i}=\frac {\d }{\d t} \end{eqnarray}
と書き、ベクトル場または1-vectorという1
2
。
2つのベクトル場\(\vf {v},\vf {u}\)及び、\(M\)上の関数\(\alpha (\v {q}),\beta (\v {q})\) に対し、
\begin{eqnarray} \alpha \vf {u}+\beta \vf {v}:=(\alpha v^i+\beta u^i)\frac {\pd }{\pd q^i} \end{eqnarray}
もまた、ベクトル場となる。よってベクトル場全体はベクトル空間をなす。 これを\(\Gamma (TM)\)と書く 3
。
\(M\)にもう1つの座標系\(\v {Q}\)をとり、もとの\(\v {q}\)と
\begin{eqnarray} Q^i=Q^i(q^1,q^2,\cdots ,q^n)\ \ (i=1,2,\cdots ,n) \label {zahyouhenkan} \end{eqnarray}
の関係4
があるとする（\(\v {q}\)と\(\v {Q}\)は空間\(M\)の同一の点を異なる座標系で 表しているにすぎない）。ベクトル場\(\vf {v}\)は
\begin{eqnarray} \vf {v}&=&v^i\frac {\pd }{\pd q^i} \nonumber \\ &=&V^j\frac {\pd }{\pd Q^j} \end{eqnarray}
となる5
。この時、
\begin{eqnarray} \vf {v}&=&v^i\frac {\pd }{\pd q^i} \nonumber \\ &=&v^i\frac {\pd Q^j}{\pd q^i}\frac {\pd }{\pd Q^j} \nonumber \\ &=&V^j\frac {\pd }{\pd Q^j}. \end{eqnarray}
よって成分は
\begin{eqnarray} V^j=v^i\frac {\pd Q^j}{\pd q^i} \label {henkansoku} \end{eqnarray}
なる変換則に従うことが分かる。逆に(17)の変換をする成分は ベクトル場の成分とみなせる。
以上のようにベクトル場は座標の取り方によらない。このようにベクトル場とは いわば、ベクトルを（または微分を）座標系の取り方によらないように表現した ものである。
微分形式
\(\Gamma (TM^*)\)
今、空間\(M\)（座標系を\(\v {q}\)として）上の曲線\(C\)に沿って
\begin{eqnarray} \tilde {\theta }:=\theta _i \d q^i \label {1form} \end{eqnarray}
を線積分することを考える。この時、別の座標系\(\v {Q}\)に対し
\begin{eqnarray} \tilde {\theta }=\Theta _j\d Q^j \end{eqnarray}
であるとすると、座標変換(13)の下で
\begin{eqnarray} \int _C\tilde {\theta }&=&\int _C\Theta _j\d Q^j \nonumber \\ &=&\int _C\Theta _j\frac {\pd Q^j}{\pd q^i}\d q^i \end{eqnarray}
となる。よって\(\tilde {\theta }\)の成分は
\begin{eqnarray} \theta _i=\Theta _j\frac {\pd Q^j}{\pd q^i} \label {formhenkan} \end{eqnarray}
と変換する。(18)の形の\(\tilde {\theta }\)で、成分が(21) のように変換するもの全体の集合を\(\Gamma (TM^*)\)で表す。また、そのような\(\tilde {\theta }\) を1-formと呼ぶ。\(\Gamma (TM^*)\)もまたベクトル空間となる6
。
ここで1-vector \(\vf {v}\)と、1-form \(\tilde {\theta }\)の縮約\(\tilde {\theta }[\vf {v}]\) を
\begin{eqnarray} \tilde {\theta }[\vf {v}]:=\theta _iv^i \end{eqnarray}
と定義する。これは(17)(21)より
\begin{eqnarray} \t {\theta }[\vf {v}]&=&\theta _iv^i \nonumber \\ &=&\Theta _j\frac {\pd Q^j}{\pd q^i}v^i \nonumber \\ &=&\Theta _jV^j \end{eqnarray}
となり、座標系の取り方によらない。特に1-vector \(\frac {\pd }{\pd q^i}\)と1-form \(\d q^j\) に対しては
\begin{eqnarray} \d q^j\left [\frac {\pd }{\pd q^i}\right ]=\delta ^j_i \end{eqnarray}
である。また、\(f\)の全微分（これも1-form）
\begin{eqnarray} \d f=\frac {\pd f}{\pd q^i}\d q^i \end{eqnarray}
と1-vector
\begin{eqnarray} \vf {v}&=&\frac {\d q^i}{\d t}\frac {\pd }{\pd q^i} \nonumber \\ &=&\frac {\d }{\d t} \nonumber \end{eqnarray}
の縮約は
\begin{eqnarray} \d f[\vf {v}]&=&\frac {\d q^i}{\d t}\frac {\pd }{\pd q^i} \nonumber \\ &=&\frac {\d f}{\d t} \nonumber \\ &=&\vf {v}f \end{eqnarray}
となる。つまり\(\d f[\vf {v}]\)は\(f\)の、ベクトル場\(\vf {v}\)に沿った微分（フロー微分） を与える。
1-form \(\t {\theta }\)と1-vector \(\vf {v}=\frac {\d }{\d t}=v^i\frac {\pd }{\pd q^i}\)が 与えられれば、連立微分方程式(1)から、曲線\(\v {q}_t\)が定まる。 この曲線の\(t=0\)から\(t\)までの範囲を\(C_t\)と書くと、\(\t {\theta }\)の\(C_t\)に沿った積分は
\begin{eqnarray} \int _{C_t}\t {\theta }&=&\int _{C_t}\theta _i\d q^i \nonumber \\ &=&\int ^t_0\theta _i\frac {\d q^i}{\d t}\d t \nonumber \\ &=&\int ^t_0\theta _iv^i\d t \nonumber \\ &=&\int ^t_0\t {\theta }[\vf {v}]\d t \end{eqnarray}
となる。これを単に\(\t {\theta }\)の\(\vf {v}\)に沿った積分と呼ぶことにする。つまり、 \(\t {\theta }\)の\(\vf {v}\)に沿った積分とは\(\t {\theta }\)と\(\vf {v}\)の縮約を\(\vf {v}\)の パラメータ\(t\)で積分したものである。よってこれも当然ながら座標系の取り方によらない。
テンソル積と外積
ここまでで、ベクトルや微分や線積分というものが座標系の取り方によらないように 表現できた。このように、さらに面積分や体積積分のようなより高次元の領域にわたる 積分も座標系の取り方によらないように表現することが出来る。
2つの1-form \(\t {\theta },\t {\omega }\)に対し、そのテンソル積を
\begin{eqnarray} \t {\theta }\otimes \t {\omega }[\vf {v},\vf {u}]:=\t {\theta }[\vf {v}]\t {\omega }[\vf {u}] \end{eqnarray}
で定める。（\(\otimes \)を省いて書くこともある）また、外積を
\begin{eqnarray} \t {\theta }\w \tomega :=\ttheta \otimes \tomega -\tomega \otimes \ttheta \end{eqnarray}
で定める。\(\ttheta \)と\(\tomega \)のテンソル積は
\begin{eqnarray} \ttheta \otimes \tomega &=&\theta _i\omega _j\d q^i\otimes \d q^j \nonumber \\ &=&(\tt \otimes \to )_{ij}\d q^i\otimes \d q^j \end{eqnarray}
とも書ける。そこで一般に2階共変テンソル\(\to \)を
\begin{eqnarray} \to :=\omega _{ij}\d q^i\d q^j \end{eqnarray}
で定める。この意味は
\begin{eqnarray} \to [\vf {v},\vf {u}]\!\!&:=&\!\!\omega _{ij}\d q^i[\vf {v}]\d q^j[\vf {u}] \nonumber \\ &=&\!\!\omega _{ij}u^iv^j \end{eqnarray}
で定まる。さらにこれを一般化して、1-form, \(\tt _1,\tt _2,\cdots ,\tt _p\)に対し、 それらのテンソル積を
\begin{eqnarray} \tt _1\otimes \tt _2\otimes \cdots \otimes \tt _p[\vf {v}_1,\vf {v}_2,\cdots ,\vf {v}_p] \nonumber \\ =\tt _1[\vf {v}_1]\tt _2[\vf {v}_2]\cdots \tt _p[\vf {v}_p] \end{eqnarray}
で定める。また、一般にp階共変テンソルを
\begin{eqnarray} \to :=\omega _{i_1i_2\cdots i_p}\d q^{i_1}\d q^{i_2}\cdots \d q^{i_p} \end{eqnarray}
で定める。p階共変テンソル全体からなる集合を
\(\Gamma (\stackrel {p}{\otimes }TM^*)\)と書く。 明らかにこれはベクトル空間となる。 外積に関しても同様にして
\begin{eqnarray} \tt _1\w \tt _2\w \cdots \w \tt _p\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \nonumber \\ =\sum _{i_1,i_2,\cdots ,i_p}\varepsilon _{i_1i_2\cdots i_p}\tt _{i_1}\otimes \tt _{i_2}\otimes \cdots \tt _{i_p} \end{eqnarray}
で定める。ここで\(\sum \)は\(i_1\sim i_p\)のそれぞれについて1からpまでの和をとり、また \(\varepsilon _{i_1i_2\cdots i_p}\)は
\begin{eqnarray} \varepsilon _{i_1i_2\cdots i_p}:= \begin {cases} 1&(i_1,\cdots ,i_p)が{\rm even}\\ -1&(i_1,\cdots ,i_p)が{\rm odd}\\ 0&その他 \end {cases} \end{eqnarray}
とする。一般に
\begin{eqnarray} \to =\omega _{i_1\cdots i_p}\d q^{i_1}\w \cdots \w \d q^{i_p} \end{eqnarray}
をp-form (p形式）という7
8
。また、0-formを\(M\)上の関数と定義しておく。p-form全体からなる集合を\(\Gamma (\stackrel {p}{\w } TM^*)\)と書く。これもまたベクトル空間となる。
ここで、今p階共変テンソル
\begin{eqnarray} \tt =\theta _{i_1\cdots i_p}\d q^{i_1}\cdots \d q^{i_p} \nonumber \end{eqnarray}
（\(\otimes \)は省いた）の成分が任意の2つの添え字\(i_\alpha ,i_\beta \)の入れ替えに対して
\begin{eqnarray} \theta _{i_1\cdots i_\alpha \cdots i_\beta \cdots i_p} =\theta _{i_1\cdots i_\beta \cdots i_\alpha \cdots i_p} \end{eqnarray}
であるとき完全対称（共変）テンソルという。右辺が\(-1\)倍になるとき完全反対称（共変）テンソル という。
任意の完全反対称共変テンソル\(\tt \)に対して、
\begin{eqnarray} \tt &=&\theta _{i_1\cdots i_p}\d q^{i_1}\cdots \d q^{i_p} \nonumber \\ &=&\sum _{i_1<\cdots <i_p}\theta _{i_1\cdots i_p}\d q^{i_1}\w \cdots \w \d q^{i_p} \nonumber \\ &=&\frac {\theta _{i_1\cdots i_p}}{p!}\d q^{i_1}\w \cdots \w \d q^{i_p} \label {formhantaishou} \end{eqnarray}
となることから、p階の完全反対称共変テンソルとp-formとは上のようにして1対1に対応する。
ベクトル場に対してもテンソル積が定まる。即ち、一般にp階反変テンソルを
\begin{eqnarray} \vf {F}:=F^{i_1\cdots i_p}\pq {i_1}\otimes \cdots \otimes \pq {i_p} \end{eqnarray}
と書き、意味はp階共変テンソル\(\to \)に対して
\begin{eqnarray} \to [\vf {F}]:=\omega _{i_1\cdots i_p}F^{i_1\cdots i_p} \end{eqnarray}
で定める。p階反変テンソル全体からなる集合（ベクトル空間） を\(\Gamma (\stackrel {p}{\otimes }TM)\)と書く。また、外積も共変テンソルのように
\begin{eqnarray} \vf {v}_1\w \vf {v}_2\w \cdots \w \vf {v}_p:=\sum \varepsilon _{i_1\cdots i_p} \vf {v}_{i_1}\otimes \cdots \otimes \vf {v}_{i_p} \end{eqnarray}
で定める。一般に
\begin{eqnarray} \vf {F}=F^{i_1\cdots i_p}\pq {i_1}\w \cdots \w \pq {i_p} \end{eqnarray}
と書け、これをp-vectorという。p-vector全体からなる集合（ベクトル空間） を\(\Gamma (\stackrel {p}{\w }TM)\)と書く。この場合もp階完全反対称反変テンソルとp-vector は1対1に対応する9
。
0-vectorをやはり\(M\)上の関数と定義する。即ち、関数は0-formでもあり0-vectorでもある。
前の1-formの時のように、(39)のp-form \(\tt \)と、空間\(M\)のp次元の （有界な）部分空間\(M_p\)の（\(M_p\)に新たに取った任意の）座標系\((t_1,t_2,\cdots ,t_p)\)に対して、 それに対応するベクトル場\(\vf {v}_1=\frac {\d }{\d t_1},\cdots ,\vf {v}_p=\frac {\d }{\d t_p}\) が与えられると
\begin{eqnarray} &&\int _{M_p}\tt [\vf {v}_1,\cdots ,\vf {v}_p]\d t_1\cdots \d t_p \nonumber \\ &=&\!\!\!\!\!\sum _{i_1<\cdots <i_p}\int _{M_p}\tt _{i_1\cdots i_p}\d q^{i_1}\w \cdots \w \d q^{i_p} [\vf {v}_1,\cdots ,\vf {v}_p]\d t_1\cdots \d t_p \nonumber \\ &=&\!\!\!\!\!\sum _{i_1<\cdots <i_p}\int _{M_p}\tt _{i_1\cdots i_p} \frac {\pd (q^{i_1},\cdots ,q^{i_p})}{\pd (t_1,\cdots ,t_p)}\d t_1\cdots \d t_p. \nonumber \end{eqnarray}
ここで上の積分の行列式が全て正であるとすると、（Jacobianがこの行列式の絶対値であることに 注意すると）この積分は単に
\begin{eqnarray} &&=\!\!\!\!\!\sum _{i_1<\cdots <i_p}\int _{M_p}\tt _{i_1\cdots i_p}\dq {i_1}\cdots \dq {i_p} \nonumber \\ &&=:\int _{M_p}\tt \end{eqnarray}
となる。これは\(M_p\)の座標系をどう取ったかによらない。これを単に\(\tt \)の\(M_p\)上の積分 と呼ぶことにする。
このようにp-formはp次元の領域の積分を、座標系の取り方によらないように表現したものといえる。
外微分
\(M\)上の関数\(f(\v {q})\)に対し、その外微分\(\d f\)を通常の全微分
\begin{eqnarray} \d f=\frac {\pd f}{\pd q_i}\dq {i} \end{eqnarray}
で定義する。p\((\geq 1)\)に対しては、p-form
\begin{eqnarray} \to =\omega _{i_1\cdots i_p}\dq {i_1}\cdots \dq {i_p} \end{eqnarray}
の外微分を、p+1-form
\begin{eqnarray} \d \to :\!\!\!\!\!&=&\!\!\!\!\d \omega _{i_1\cdots i_p}\w \dq {i_1}\w \cdots \w \dq {i_p} \nonumber \\ &=&\!\!\!\!\frac {\pd \omega _{i_1\cdots i_p}}{\pd q^{i_0}}\dq {i_0}\w \dq {i_1}\w \cdots \w \dq {i_p} \label {gaibibun} \end{eqnarray}
で定義する10
。 外微分\(\d \)は形式的に
\begin{eqnarray} \d =\dq {i}\w \pq {i} \end{eqnarray}
と書ける。\(\pq {i}\)は\(q^i\)の偏微分を表す。
この外微分はいわゆるStokesの定理を座標系によらないように表すのに使われたりする。 ここでは証明を省いて結果だけ載せる。かなりおおざっぱなので、詳しいことはものの本を 読まれたい。
(1) [Stokesの定理]向きづけられた11
空間\(M\)のあるp+1次元の領域を\(D\)、 及び\(D\)の表面（p次元）を\(\pd D\)とし、\(\bar {D}\)がコンパクトである時、 任意のp-form \(\to \)に対し
\begin{eqnarray} \int _{\pd D}\to =\int _D\d \to . \end{eqnarray}
その他の外微分の性質についても証明なしで載せる。（しかしかなり重要な性質）
(2)任意のp-form \(\to \)に対し
\begin{eqnarray} \d \d \to =\d ^2\to =0. \end{eqnarray}
これはすぐに確かめられる。
(3) [ポアンカレの補題] \(M\)が\(\mathbb {R}^n\)と微分同型であるとき12
、p-form \(\to \)が\(M\)上の至るところで\(\d \to =0\)となるならば、あるp-1-form \(\tt \) があり
\begin{eqnarray} \to =\d \tt \end{eqnarray}
と書ける。
計量空間
今、空間\(M\)がEuclid空間\(\v {R}^n\)であるとする。その座標系を通常の直交座標系にとり、それを \(\v {x}\)としたとき、線素\(\d s^2\)は
\begin{eqnarray} \d s^2&:=&\sum ^n_{i=1}\d x^i\d x^i \nonumber \\ &=&\delta _{ij}\d x^i\d x^j \end{eqnarray}
である。これを\(\v {x}\)から別の座標系\(\v {q}\)に座標変換した時に、
\begin{eqnarray} \d s^2=\delta _{ij}\frac {\pd x^i}{\pd q^\mu }\frac {\pd x^j}{\pd q^\nu }\d q^\mu \d q^\nu \nonumber \end{eqnarray}
と変わる。この時、
\begin{eqnarray} g_{\mu \nu }:=\delta _{ij}\frac {\pd x^i}{\pd q^\mu }\frac {\pd x^j}{\pd q^\nu } \end{eqnarray}
を計量という。これは明らかに添え字の入れ替えに対し、対称である。今、ベクトル場
\begin{eqnarray} \vf {v}:&=&v^i\frac {\pd }{\pd x^i} \nonumber \\ &=&\acute {v}^\mu \frac {\pd }{\pd q^\mu } \nonumber \end{eqnarray}
に対して、1-form \(\tv {v}\)を
\begin{eqnarray} \tv {v}&:=&\sum _iv^i\d x^i \nonumber \\ &=&\delta _{ij}v^i\d x^j \end{eqnarray}
と対応させる。これは座標系を\(\v {q}\)に変換すると
\begin{eqnarray} \tv {v}\!\!&=&\!\!\!\delta _{ij}\frac {\pd x^i}{\pd q\mu }\frac {\pd x^j}{\pd q^\nu } \acute {v}^{\nu }\d q^\mu \nonumber \\ &=&\!\!\!g_{\mu \nu }\acute {v}^\mu \d q^\nu . \end{eqnarray}
よって\(\tv {v}\)の成分は
\begin{eqnarray} g_{\mu \nu }\acute {v}^\mu =:\acute {v}_\nu \end{eqnarray}
である。
このようにして、一般に、\(\Gamma (\stackrel {p}{\otimes }TM)\)の元\(\vf {F}\)を、 \(\Gamma (\stackrel {p}{\otimes }TM^*)\) の元\(\tv {F}\)に対応させる時も、その成分は計量で添え字を下げたものになる。即ち
\begin{eqnarray} \vf {F}=F^{i_1\cdots i_p}\frac {\pd }{\pd x^{i_1}}\cdots \frac {\pd }{\pd x^{i_p}} \nonumber \end{eqnarray}
に対して
\begin{eqnarray} \tv {F}&:=&F^{i_1\cdots i_p}\d x^{i_1}\cdots \d x^{i_p} \nonumber \\ &=&g_{\mu _1\nu _1}g_{\mu _2\nu _2}\cdots g_{\mu _p\nu _p}F^{\mu _1\cdots \mu _p} \d q^{\nu _1}\cdots \d q^{\nu _p} \nonumber \\ &=:&\acute {F}_{\nu _1\cdots \nu _p}\d q^{\nu _1}\cdots \d q^{\nu _p}. \end{eqnarray}
逆に\(\Gamma (\stackrel {p}{\otimes }TM^*)\)の元\(\to \)を、\(\Gamma (\stackrel {p}{\otimes }TM)\)の元 \(\bar {\omega }\)に対応させる時には、
\begin{eqnarray} g_{\mu \nu }g^{\nu \rho }=\delta ^\rho _\mu \end{eqnarray}
を満たす計量\(g_{\mu \nu }\)の逆行列\(g^{\nu \rho }\)で添え字を上げることになる （計量は対称行列なので逆行列が存在する）。
このようにして計量が分かれば、それでテンソルの成分の添え字の上げ下げをすることで、 \(\Gamma (\stackrel {p}{\otimes }TM^*)\)と\(\Gamma (\stackrel {p}{\otimes }TM)\)とを対応させられる。 このことを 一般化して空間\(M\)がEuclid空間でない時も、計量が与えられた時には添え字の上げ下げを 計量で行うとする。
\(M\)に2つの座標系\(\v {q},\v {Q}\)を取った時、線素\(\d s^2\)が
\begin{eqnarray} \d s^2&=&g_{ij}\d q^i\d q^j \nonumber \\ &=&\acute {g}_{\mu \nu }\d Q^\mu \d Q^\nu \end{eqnarray}
である時、これらの計量の間には
\begin{eqnarray} \acute {g}_{\mu \nu }=g_{ij}\frac {\pd q^i}{\pd Q^\mu }\frac {\pd q^j}{\pd Q^\nu } \label {keiryouhenkan} \end{eqnarray}
という関係があるのが分かる。即ち、線素は2階共変対称テンソルである13
。
計量の与えられた空間\(M\)において、2つのベクトル場\(\vf {v},\vf {u}\)の内積を
\begin{eqnarray} \tv {v}[\vf {u}]=\tv {u}[\vf {v}]&=&g_{ij}v^iu^j \nonumber \\ &=&\d s^2[\vf {v},\vf {u}] \end{eqnarray}
で定義する。
このようにして計量があり、上のような内積が定義されている空間を計量空間という。 計量空間ではベクトル場\(\vf {v}=\frac {\d }{\d t}\)に対して、それから決まる曲線 \(C_t\)の長さ\(d_t\)を
\begin{eqnarray} d_t&=&\int ^t_0\sqrt {\d s^2[\vf {v},\vf {u}]}\d t \nonumber \\ &=&\int ^t_0\sqrt {g_{ij}\frac {\d q^i}{\d t}\frac {\d q^j}{\d t}}\d t \end{eqnarray}
として定義する。Euclid空間\(\v {R}^n\)ではこれは普通の意味での長さになっている。
体積要素
再び\(M\)はEuclid空間\(\v {R}^n\)とする。\(M\)における体積要素は、直交座標系\(\v {x}\)で
\begin{eqnarray} \t {\sigma }:=\d x^1\w \d x^2\w \cdots \w \d x^n \end{eqnarray}
で与えられるn-formである。別の座標系\(\v {q}\)では
\begin{eqnarray} \t {\sigma }=\frac {\pd (x^1,\cdots ,x^n)}{\pd (q^1,\cdots ,q^n)}\d q^1\w \cdots \w \d q^n \end{eqnarray}
となる。ここで
\begin{eqnarray} \frac {\pd (x^1,\cdots ,x^n)}{\pd (q^1,\cdots ,q^n)} =: \left |\frac {\pd \v {x}}{\pd \v {q}}\right |>0 \end{eqnarray}
であるとき\(\v {x}\)と\(\v {q}\)は同じ向きであるという。以下、座標系を取った時には常に \(\v {x}\)と同じ向きであるとする。
今、2つの座標系\(\v {q},\v {Q}\)に対し、計量\(g_{ij},\acute {g}_{\mu \nu }\)の行列式を それぞれ\(g,\acute {g}\)と書けば、(60)から
\begin{eqnarray} \acute {g}=g\left |\frac {\pd \v {q}}{\pd \v {Q}}\right |\left |\frac {\pd \v {q}}{\pd \v {Q}}\right |. \end{eqnarray}
よって、
\begin{eqnarray} \sqrt {\acute {g}}=\sqrt {g}\left |\frac {\pd \v {q}}{\pd \v {Q}}\right | \end{eqnarray}
となる（このnoteを通して計量は常に正定値、即ち\(g>0\)であるとする）。 特に\(\v {x},\v {q}\)に対しては、
\begin{eqnarray} \sqrt {g}=\left |\frac {\pd \v {x}}{\pd \v {q}}\right | \end{eqnarray}
となる。従って、体積要素\(\t {\sigma }\)は
\begin{eqnarray} \t {\sigma }=\sqrt {g}\d q^1\w \cdots \w \d q^n \end{eqnarray}
と書ける。また、これは
\begin{eqnarray} \t {\sigma }=\sqrt {g}\varepsilon _{i_1\cdots i_n}\d q^{i_1}\cdots \d q^{i_n} \end{eqnarray}
とも書ける。
\begin{eqnarray} \sigma _{i_1\cdots i_n}:=\sqrt {g}\varepsilon _{i_1\cdots i_n} \end{eqnarray}
と置けば、体積要素は
\begin{eqnarray} \t {\sigma }&=&\sigma _{i_1\cdots i_n}\d q^{i_1}\cdots \d q^{i_n} \nonumber \\ &=&\frac {\sigma _{i_1\cdots i_n}}{n!}\d q^{i_1}\w \cdots \w \d q^{i_n} \end{eqnarray}
とも書ける。
ここでもやはりEuclid空間でない場合に一般化することが出来る。\(M\)が計量空間であれば、 体積要素を
\begin{eqnarray} \t {\sigma }:=\sqrt {g}\d q^1\w \cdots \w \d q^n \end{eqnarray}
で定める。また、計量が備わってない場合でも、\(\sigma _{i_1\cdots i_n} :=\sigma \varepsilon _{i_1\cdots i_n}\)（\(\sigma \)は\(M\)上で正の適当な関数）として、
\begin{eqnarray} \t {\sigma }&:=&\sigma \d q^{1}\w \cdots \w \d q^{n} \nonumber \\ &=&\sigma _{i_1\cdots i_n}\d q^{i_1}\cdots \d q^{i_n} \nonumber \\ &=&\frac {\sigma _{i_1\cdots i_n}}{n!}\d q^{i_1}\w \cdots \w \d q^{i_n} \nonumber \end{eqnarray}
で体積要素を定義できる14
。 ここで注意。一般的な空間\(M\)で考えた時、一般的には体積要素があるところで\(0\)になる場合が ありうる。ある点での体積要素が正であるとしても、 2つの座標系\(\v {q}\)及び\(\v {Q}\)を取って、その間の変換行列の行列式が常に正とは限らないから。
もし常に正であるように選ぶことが出来る時、\(M\)は向き付け可能という。
DUALテンソル
\(M\)に体積要素\(\t {\sigma }\)が備わっているとする。完全反対称なp階反変テンソル（p-vector）
\begin{eqnarray} \vf {F}&=&F^{i_1\cdots i_p}\pd _{i_1}\cdots \pd _{i_p} \nonumber \\ &=&\frac {F^{i_1\cdots i_p}}{p!}\pd _{i_1}\w \cdots \w \pd _{i_p} \nonumber \end{eqnarray}
に対し（\(\pd _i=\frac {\pd }{\pd q^i}\)とする）、n-p-form
\begin{eqnarray} \dual \vf {F}\!\!&=&\!\!\frac {\sigma _{i_1\cdots i_n}F^{i_1\cdots i_p}}{p!(n-p)!}\d q^{i_{p+1}} \w \cdots \w \d q^{i_n} \nonumber \\ &=&\!\!\underset {i_{p+1}<\cdots <i_n}{\sum _{i_1<\cdots i<p}}\sigma _{i_1\cdots i_n} F^{i_1\cdots i_p}\d q^{i_{p+1}}\w \cdots \w \d q^{i_n} \nonumber \\ &=&\!\!\sigma _{i_1\cdots i_n}F^{i_1\cdots i_p}\d q^{i_{p+1}}\cdots \d q^{i_n} \label {vecdual} \end{eqnarray}
を\(\vf {F}\)のdualテンソルという。
完全反対称なp階共変テンソル（p-form）
\begin{eqnarray} \t {\omega }&=&\omega _{i_1\cdots i_p}\d q^{i_1}\cdots \d q^{i_p} \nonumber \\ &=&\frac {\omega _{i_1\cdots i_p}}{p!}\d q^{i_1}\w \cdots \w \d q^{i_p} \nonumber \end{eqnarray}
に対し、n-p-vector
\begin{eqnarray} \dual \t {\omega }&:=&\frac {\sigma ^{i_1\cdots i_n}\omega _{i_{n-p+1}\cdots i_n}}{p!(n-p)!} \pd _{i_1}\w \cdots \w \pd _{i_{n-p}} \nonumber \\ &=&\!\!\!\!\!\underset {i_{n-p+1}<\cdots <i_n}{\sum _{i_1<\cdots <i_{n-p}}} \sigma ^{i_1\cdots i_n}\omega _{i_{n-p+1}\cdots i_n}\pd _{i_1}\w \cdots \w \pd _{i_{n-p}} \nonumber \\ &=&\sigma ^{i_1\cdots i_n}\omega _{i_{n-p+1}\cdots i_n} \pd _{i_1}\cdots \pd _{i_{n-p}} \label {formdual} \end{eqnarray}
を\(\t {\omega }\)のdualテンソルという。ただし
\begin{eqnarray} \sigma ^{i_1\cdots i_n}:=\frac {1}{\sigma }\varepsilon _{i_1\cdots i_n}. \end{eqnarray}
よって、完全反対称テンソル\(\vf {F},\t {\omega }\)に対し
\begin{eqnarray} \dual \dual \vf {F}=\vf {F} \label {vecdd}\\ \dual \dual \t {\omega }=\t {\omega } \label {formdd} \end{eqnarray}
となる（計量が負定値、即ち\(g<0\)であるならば\(-\)符号が付く。しかしこのnoteではその場合 についてはこれ以上触れない） 15
16
。
空間成分と時間成分に分けて考えること
この章では、物理への応用の際に（たぶん）便利な方法を1つ説明する。それは、時間成分\(t\)を 含めて微分形式を扱うことが多々あるが、場合によりそれを空間成分と時間成分とに分けることが ある。それをスムーズに行うための方法である。
空間\(M\)がn+1次元であるとし、座標系を
\begin{eqnarray} \v {z}&=&(z^0,z^1,z^2,\cdots ,z^n) \nonumber \\ &=&(t,q^1,q^2,\cdots ,q^n) \nonumber \end{eqnarray}
とする。体積要素を
\begin{eqnarray} \t {\sigma }&=&\sigma \d z^0\w \d z^1\w \cdots \w \d z^n \nonumber \\ &=&\sigma \d t\w \d q^1\w \cdots \w \d q^n \end{eqnarray}
とする。以下ではテンソルの添え字について、\(\mu ,\nu ,\cdots \)などのギリシャ文字は\(0\sim n\) を動き、\(i,j,\cdots \)などのアルファベットは\(1\sim n\)を動くものとする。
先ず、次のような添え字\(\mu _1\sim \mu _p\)の中に\(0\)がない成分が全て\(0\)であるようなp-form 即ち
\begin{eqnarray} \t {\omega }\!\!\!\!\!&=&\!\!\!\!\!\frac {\acute {\omega }_{\mu _1\cdots \mu _p}}{p!}\d z^{\mu _1}\w \cdots \w \d z^{\mu _p} \nonumber \\ &=&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\sum _{0<i_1<\cdots <i_p} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\acute {\omega }_{i_1\cdots i_{p-1}0}\d z^{i_1}\w \cdots \w \d z^{i_{p-1}}\w \d t \end{eqnarray}
を考える。これを\(\acute {\omega }_{i_1\cdots i_{p-1}0}=:\omega _{i_1\cdots i_{p-1}}\)と置き、
\begin{eqnarray} \t {\omega }_0:=\sum _{i_1<\cdots <i_{p-1}}\omega _{i_1\cdots i_{p-1}}\d q^{i_1}\w \cdots \w \d q^{i_{p-1}} \nonumber \end{eqnarray}
と置けば、\(\t {\omega }_0\)はn次元（座標系が\(\v {q}\)である）のp-1-formのようにみなせ、
\begin{eqnarray} \t {\omega }=\t {\omega }_0\w \d t \end{eqnarray}
と書ける。このように書くようにすれば一般のp-form
\begin{eqnarray} \t {\omega }=\sum _{\mu _1<\cdots <\mu _p}\acute {\omega }_{\mu _1\cdots \mu _p}\d z^{\mu _1}\cdots \d z^{\mu _p} \nonumber \\ \end{eqnarray}
に対しても、
\begin{eqnarray} \t {\omega }\!\!\!\!\!&=&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \sum _{(0<)i_1<\cdots <i_p}\!\!\!\!\!\acute {\omega }_{i_1\cdots i_p}\d q^{i_1}\w \cdots \w \d q^{i_p} \nonumber \\ &&\!\!\!\!\!+\!\!\!\!\!\!\!\!\sum _{i_1<\cdots <i_{p-1}} \!\!\!\!\!\!\acute {\omega }_{i_1\cdots i_{p-1}0}\d q^{i_1}\w \cdots \w \d q^{i_{p-1}}\w dt \nonumber \\ \end{eqnarray}
と書き、成分を
\begin{eqnarray} &&\cdot \ \theta _{i_1\cdots i_p}:=\acute {\omega }_{i_1\cdots i_p}\ \ (i_1,\cdots ,i_p\neq 0) \nonumber \\ &&\cdot \ \omega _{i_1\cdots i_{p-1}}:=\acute {\omega }_{i_1\cdots i_{p-1}0} \nonumber \end{eqnarray}
と書き直して、p-form \(\tt \)、p-1-form \(\to _0\)をそれぞれ
\begin{eqnarray} &&\tt :=\sum _{i_1<\cdots <i_p}\theta _{i_1\cdots i_p}\d q^{i_1}\w \cdots \w \d q^{i_p} \nonumber \\ &&\to _0:=\sum _{i_1<\cdots <i_{p-1}}\omega _{i_1\cdots i_{p-1}}\d q^{i_1}\w \cdots \w \d q^{i_{p-1}} \nonumber \end{eqnarray}
と置けば、
\begin{eqnarray} \to =\tt +\to _0\w dt \label {formbunkai} \end{eqnarray}
と書ける。
p-vectorについても全く同様にできて、p-vector \(\vf {v}\)、p-1-vector \(\vf {u}\)を用いて
\begin{eqnarray} \vf {F}=\vf {v}+\frac {\pd }{\pd t}\w \vf {u} \label {vecbunkai} \end{eqnarray}
のように出来る。ここで成分は
\begin{eqnarray} &&\cdot \ v^{i_1\cdots i_p}:=F^{i_1\cdots i_p}\ \ (i_1,\cdots ,i_p\neq 0) \nonumber \\ &&\cdot \ u^{i_1\cdots i_{p-1}}:=F^{0i_1\cdots i_{p-1}} \nonumber \end{eqnarray}
と対応させている。
上の対応(84)(85)は、上の議論から一意的であるということが 分かる。
これらのことから分かるように、n+1次元の空間\(M\)は、n次元空間にもう1つパラメータ\(t\)を 付けたものとして扱えるのが分かる。(84)の\(\tt \)や、(85)の\(\vf {v}\) をn次元のテンソル（p-formまたはp-vector）と呼ぶことにする17
。n+1次元での外微分やdualテンソルがn次元で表現するとどうなるか、その読み替えが即座に出来れば 便利である。
先ず、外微分について。当然、\(M\)をn+1次元空間で見るか、n次元空間とパラメータ\(t\)との組で 見るかで結果が変わる。つまり\(t\)についての外微分が入るか入らないの違いがある。そこでn+1次元 で見た時の外微分を\(D\)で、n次元で見た時の外微分を\(\d \)で表すことにする。p-form
\begin{eqnarray} \t {\Omega }=\tt +\to \w \d t \label {n+1form} \end{eqnarray}
に対し、この外微分\(D\t {\Omega }\)は
\begin{eqnarray} D\t {\Omega }&=&D\tt +D(\to \w \d t) \nonumber \\ &=&\d \tt +\d t\w \pd _t\tt +\d \to \w \d t \end{eqnarray}
となる（\(\pd _t=\frac {\pd }{\pd t}\)は\(t\)での偏微分）。ここで形式的には\(D\)は
\begin{eqnarray} D=\d +\d t\w \pd _t \end{eqnarray}
と書ける。
dualテンソルもまた、n+1次元かn次元かで変わるので、n+1次元で見た時のdualを\(\exdual \) で、n次元で見た時のdualを今まで通りの\(\dual \)で表すことにする。 ただし\(M\)の計量の行列式は\(g>0\)であるとする。
先ず、n次元のp-form \(\tt \)、即ち添え字の中に\(0\)がある成分は全て\(0\)になるようなp-formの dual \(\exdual \tt \)をとってみる。
\begin{eqnarray} \exdual \tt =\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset {0<\mu _{n-p+1}<\cdots <\mu _n}{\sum _{\mu _0=0<\cdots <\mu _{n-p}}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\sigma ^{\mu _0\cdots \mu _n} \theta _{\mu _{n-p+1}\cdots \mu _n}\frac {\pd }{\pd z^{\mu _0}} \w \cdots \w \frac {\pd }{\pd z^{\mu _{n-p}}}. \nonumber \end{eqnarray}
ここで
\begin{eqnarray} \sigma ^{0\mu _1\cdots \mu _n}&=&\frac {1}{\sigma }\varepsilon ^{0\mu _1\cdots \mu _n} \nonumber \\ &=&\frac {1}{\sigma }\varepsilon ^{i_1\cdots i_n} \nonumber \\ &=:&\sigma ^{i_1\cdots i_n} \label {nnotaiseki} \end{eqnarray}
と置くことでn次元での体積要素を定義し、n次元でのdualをこの体積要素でとるものとすれば、
\begin{eqnarray} \exdual \tt \!\!\!&=&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset {i_{n-p+1}<\cdots <i_n}{\sum _{i_1<\cdots <i_{n-p}}} \!\!\!\!\!\!\!\sigma ^{i_1\cdots i_n}\theta _{i_{n-p+1}\cdots i_n}\frac {\pd }{\pd t}\w \frac {\pd }{\pd z^{i_1}}\w \cdots \w \frac {\pd }{\pd z^{i_{n-p}}} \nonumber \\ &=&\frac {\pd }{\pd t}\w \dual \tt \label {n+1formdual} \end{eqnarray}
と書ける。
n次元のp-vector \(\vf {v}\)に対しても、(89)より
\begin{eqnarray} \sigma _{\mu _1\cdots \mu _n0}&=&\sigma \varepsilon _{\mu _1\cdots \mu _n0} \nonumber \\ &=&(-1)^n\sigma \varepsilon _{0\mu _1\cdots \mu _n} \nonumber \\ &=&(-1)^n\sigma \varepsilon _{i_1\cdots i_n} \nonumber \\ &=&(-1)^n\sigma _{i_1\cdots i_n} \end{eqnarray}
と対応できるので、dualテンソル \(\exdual \vf {v}\)は
\begin{eqnarray} \exdual \vf {v}&=&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underset {i_{p+1}<\cdots <i_n}{\sum _{i_1<\cdots <i_p}} \!\!\!\!\!\sigma _{i_1\cdots i_n}v^{i_1\cdots i_p}\d z^{i_{p+1}}\w \cdots \w \d z^{i_n}\w \d t \nonumber \\ &=&(-1)^n\ \dual \vf {v}\w \d t \label {n+1vecdual} \end{eqnarray}
と書ける。
(90)(92)で\(\tt ,\vf {v}\)は任意なので\(\dual \tt \)（n-p-vector）の 代わりに\(\vf {u}\)（n-p-vector）を、\(\dual \vf {v}\)（n-p-form）の代わりに\(\to \)（n-p-form）と 置けば、（\(\exdual \)をとって）
\begin{eqnarray} &&\cdot \ \exdual \biggl (\frac {\pd }{\pd t}\w \vf {u}\biggr )=\ \dual \vf {u} \\ &&\cdot \ \exdual \biggl (\to \w \d t\biggr )=(-1)^n\ \dual \to \end{eqnarray}
が得られる。これらを使って、任意のn+1次元のp-formやp-vectorのdualテンソルが分かる。即ち (86)のp-form \(\t {\Omega }\)に対し
\begin{eqnarray} \cdot \ \exdual \t {\Omega }&=&\ \exdual \tt +\ \exdual \biggl (\to \w \d t\biggr ) \nonumber \\ &=&\frac {\pd }{\pd t}\w \dual \tt +(-1)^n\ \dual \to . \end{eqnarray}
同様に(85)のp-vector \(\vf {F}\)に対し
\begin{eqnarray} \cdot \ \exdual \vf {F}&=&\exdual \vf {v}+\ \exdual \biggl (\frac {\pd }{\pd t}\w \vf {u}\biggr ) \nonumber \\ &=&(-1)^n \ \dual \vf {v}\w \d t+\dual \vf {u} \end{eqnarray}
となる18
。
応用例1
先ず、n次元空間（座標系を\(\v {q}\)と取っておく）を考えて、ベクトル場\(\vf {u}\)が与えられて いるとする。\(\vf {u}\)の生成するflowを\(\phi _t\)とする。空間の任意の領域\(D_0\)はflowによって 領域\(\phi _t(D_0)=:D_t\)に移る。
今、ある量\(\rho \)（例えば電荷密度）に対し、領域\(D_t\)内の総量（全電荷）は（\(Q_t\)と書く）
\begin{eqnarray} \int _{D_t}\rho \t {\sigma }&=&\int _{D_t}\rho _t\sigma _t\d q^1_t\w \cdots \w \d q^n_t \nonumber \\ &=&\int _{D_0}\rho _t\sigma _tJ_t\d q^1_0\w \cdots \w \d q^n_0 \nonumber \\ &=&:Q_t \end{eqnarray}
ここで
\begin{eqnarray} J_t:=\frac {\pd (q^1_t,\cdots ,q^n_t)}{\pd (q^1_0,\cdots ,q^n_0)}. \end{eqnarray}
よって\(Q_t\)の時間変化率（フロー微分）は
\begin{eqnarray} \frac {\d }{\d t}Q_t=\int _{D_0}\frac {\d }{\d t}(\rho _t\sigma _tJ_t)\d q^1_0\w \cdots \w \d q^n_0 \nonumber \end{eqnarray}
ここで
\begin{eqnarray} \frac {d}{dt}\left (\frac {\pd q^i_t}{\pd q^j_0}\right )&=& \frac {\pd ^2 q^i_t}{\pd q^j_0\pd q^k_0}\dot {q}^k_0+\frac {\pd ^2q^i_t}{\pd t\pd q^j_0} \nonumber \\ &=&\frac {\pd }{\pd q^j_0}\left (\frac {\pd q^i_t}{\pd q^k_0}\dot {q}^j_0 +\frac {\pd q^i_t}{\pd t} \right ) \nonumber \\ &=&\frac {\pd }{\pd q^j_0}\left (\frac {dq^i_t}{dt}\right ) \nonumber \\ &=&\frac {\pd \dot {q}^i_t}{\pd q^j_0} \end{eqnarray}
及び
\begin{eqnarray} \frac {\d }{\d t}J_t\!\!\!&=&\!\!\!\frac {\d }{\d t} \left (\varepsilon ^{i_1\cdots i_n}\frac {\pd q^{i_1}_t}{\pd q^1_0}\cdots \frac {\pd q^{i_n}_t}{\pd q^n_0}\right ) \nonumber \\ \!\!\!&=&\!\!\!\sum _j\frac {\d }{\d t}\left (\frac {\pd q^{i_j}_t}{\pd q^j_0}\right ) \left (\varepsilon ^{i_1\cdots i_n}\frac {\pd q^{i_1}_t}{\pd q^1_0}\cdots \overset {\overset {j}{\vee }}{}\cdots \frac {\pd q^{i_n}_t}{\pd q^n_0}\right ) \nonumber \\ &=&\sum _j\frac {\pd u^{i_j}}{\pd q_t^{i_j}} \left (\varepsilon ^{i_1\cdots i_n}\frac {\pd q^{i_1}_t}{\pd q^1_0}\cdots \frac {\pd q^{i_n}_t}{\pd q^n_0}\right ) \nonumber \\ &=&\mathrm {div}\v {u}\cdot J_t \end{eqnarray}
より、
\begin{eqnarray} &&\frac {\d }{\d t}(\rho _t\sigma _tJ_t)\d q^1_0\w \cdots \w \d q^n_0 \nonumber \\ &&\ \ \ \ \ \ \ =\biggl [\frac {\pd }{\pd t}(\rho \sigma )+\frac {\pd }{\pd q^i}(\rho u^i\sigma )\biggr ] J\d q^1_0\w \cdots \w \d q^n_0 \nonumber \\ &&\ \ \ \ \ \ \ =\frac {\pd }{\pd t}\ \dual \rho +\d \dual (\rho \vf {u}) \label {hozonryoubibun} \end{eqnarray}
と書ける。これを連続方程式という。
ここで時間成分まで含めたn+1次元で考えてみる。n+1次元のベクトル場を
\begin{eqnarray} \vf {U}:=\vf {u}+\frac {\pd }{\pd t} \end{eqnarray}
とすると(101)は、\(D\exdual (\rho \vf {U})\)で表される。実際
\begin{eqnarray} D\exdual (\rho \vf {U})&=&D\exdual (\rho \vf {u}+\rho \pd _t) \nonumber \\ &=&D((-1)^n\ \dual \rho \vf {u}\w \d t+\dual \rho ) \nonumber \\ &=&(-1)^n\d \dual (\rho \vf {u})\w \d t+\d t\w \pd _t\dual \rho \nonumber \\ &=&\d t\w (\d \ \dual \rho \vf {u}+\pd _t\dual \rho ) \end{eqnarray}
となる。
ここで仮に量\(\rho \)が保存量であるとする。即ち任意の領域\(D_0\)に対して
\begin{eqnarray} \frac {\d }{\d t}Q_t=0 \end{eqnarray}
とすると、
\begin{eqnarray} D\exdual (\rho \vf {U})=0. \end{eqnarray}
よって、あるn-1-form \(\tv {F}\)があり
\begin{eqnarray} D\tv {F}= \exdual (\rho \vf {U}) \end{eqnarray}
となる。ここで\(\tv {F}\)をさらに、n次元の1-vector \(\vf {E}\)及び、n次元のn-2-form \(\tv {H}\)を用いて、
\begin{eqnarray} \tv {F}=\dual \vf {E}+(-1)^n\tv {H}\w \d t \end{eqnarray}
と書くと、
\begin{eqnarray} D\tv {F}&=&\d \dual \vf {E}+(-1)^n\biggl [-\pd _t\dual \vf {E}+\d \tv {H}\biggr ]\w \d t \nonumber \\ &=&\dual \rho +(-1)^n\ \dual \rho \vf {v}\w \d t \end{eqnarray}
即ち、Maxwell方程式（の半分）
\begin{eqnarray} &&\cdot \ \d \ \dual \vf {E}=\dual \rho \\ &&\cdot \ -\frac {\pd }{\pd t}\dual \vf {E}+\d \tv {H}=\dual \rho \vf {u} \end{eqnarray}
が導かれる。\(\tilde {\exdual }\tv {F}\)（\(\tv {F}\)の\(\exdual \)をとって、さらにformに移したもの） の外微分\(D\tilde {\exdual }\tv {F}\)が0とすればMaxwell方程式の残りの組になる。
応用例2
通例の極座標表示
直交座標系以外の座標系でよく使う座標系として極座標の説明。 極座標は、直交座標系\((x^1,x^2,\cdots ,x^{n+1})\)に対して、 \((r,\theta _1,\theta _2,\cdots ,\theta _n), \ \ 0\leq r,0\leq \theta _1\leq 2\pi ,0\leq \theta _i\leq \pi \ (i=2,3,\cdots ,n)\) と書き、関係は
\begin{eqnarray} \left \{ \begin {array}{l} x^1=r\sin \theta _1\sin \theta _2\cdots \sin \theta _{n-1}\sin \theta _n \\ x^2=r\cos \theta _1\sin \theta _2\cdots \sin \theta _{n-1}\sin \theta _n \\ x^3=r\cos \theta _2\sin \theta _3\cdots \sin \theta _n\\ \vdots \\ x^n=r\cos \theta _{n-1}\sin \theta _n \\ x^{n+1}=r\cos \theta _n \end {array} \right . \end{eqnarray}
である。以下計算上の理由からn変数の時の直交座標系を\((y^1,y^2,\cdots ,y^n)\)で表す。即ち
\begin{eqnarray} \left \{ \begin {array}{l} y^1=r\sin \theta _1\sin \theta _2\cdots \sin \theta _{n-1} \\ y^2=r\cos \theta _1\sin \theta _2\cdots \sin \theta _{n-1} \\ \vdots \\ y^n=r\cos \theta _{n-1} \end {array} \right . \end{eqnarray}
よって\(x^i\)と\(y^i\)の関係は
\begin{eqnarray} \left \{ \begin {array}{ll} x^i=y^i\sin \theta _n &(i=1,2,\cdots ,n)\\ x^{n+1}=r\cos \theta _n & \\ \end {array} \right . \end{eqnarray}
となる。今\((x^1,\cdots ,x^{n+1})\)から\((r,\theta _1,\cdots ,\theta _n)\)への変換行列を\(C_{n+1}\) で表すと、
\begin{eqnarray} C_{n+1}=\left ( \begin {array}{ccccc} & & & & y^1\cos \theta _n \\ & & & & y^2\cos \theta _n \\ & \sin \theta _nC_n & & & y^3\cos \theta _n \\ & (n\times n) & & & \vdots \\ & & & & y^n\cos \theta _n \\ \cos \theta _n &0& \cdots & 0 & -r\sin \theta _n \\ \end {array} \right ) \nonumber \end{eqnarray}
ここで\(C_n\)は\((y^1,\cdots ,y^n)\)から\((r,\theta _1,\cdots ,\theta _{n-1})\)への変換行列である。 これより\(\det C_{n+1}\)と\(\det C_n\)の関係を導くことが出来る。 \(\sin \theta _nC_n\)の第1列目は
\begin{eqnarray} \frac {\sin \theta _n}{r}y^i\ \ (i=1,2,\cdots ,n) \end{eqnarray}
であるので
\begin{eqnarray} \det C_{n+1}&=&-r\sin \theta _n\det (\sin \theta _nC_n) \nonumber \\ &&-\left \{\cos \theta _n\frac {r\cos \theta _n}{\sin \theta _n}\det (\sin \theta _n C_n)\right \} \nonumber \\ &=&-\frac {r}{\sin \theta _n}\det (\sin \theta _nC_n) \nonumber \\ &=&-r\sin ^{n-1}\theta _n\det C_n \end{eqnarray}
となる。ここで\(\det C_2=-r\)が容易に計算出来るので、後は帰納的に
\begin{eqnarray} &&\det C_2=-r \nonumber \\ &&\det C_3=r^2\sin \theta _2 \nonumber \\ &&\det C_4=-r^3\sin ^2\theta _3\sin \theta _2 \nonumber \\ &&\det C_5=r^4\sin ^3\theta _4\sin ^2\theta _3\sin \theta _2 \nonumber \\ &&\vdots \nonumber \\ &&\det C_n=(-1)^{n-1}r^{n-1}\prod _{i=2}^{n-1}\sin ^{i-1}\theta _i \nonumber \\ \end{eqnarray}
これは前節で求めたように、n次元体積の積分変数を変えた時の比を与える。即ち
\begin{eqnarray} \d x^1\cdots \d x^n=r^{n-1}\prod _{i=1}^{n-2}\sin ^i\theta _{i+1}\cdot \d r\d \theta _1\cdots \d \theta _{n-1} \nonumber \\ \end{eqnarray}
となる。
以上により\(n-1\)次元球面（\(S^{n-1}\)と書く）の表面積を求めることが出来る。
\begin{eqnarray} \prod _{i=1}^{n-2}\sin ^i\theta _{i+1}\cdot \d \theta _1\cdots \d \theta _{n-1}=\d \Omega _n \end{eqnarray}
と置くと
\begin{eqnarray} \int \d \Omega _n&=&\int \sin ^{n-2}\theta _{n-1}\sin ^{n-3}\theta _{n-2}\cdots \nonumber \\ &&\ \ \ \ \ \cdots \sin \theta _2\d \theta _1\cdots \d \theta _{n-1} \nonumber \\ &=&2\pi I_1I_2\cdots I_{n-2} \end{eqnarray}
ここで積分は\(\theta _1\)は\(0\)から\(2\pi \)までで、他は\(0\)から\(\pi \)までにわたる。また
\begin{eqnarray} I_n&=&\int ^\pi _0\sin ^n\theta \d \theta \nonumber \\ &=&\left \{ \begin {array}{ll} \frac {n-1}{n}\frac {n-3}{n-2}\frac {n-5}{n-4}\cdots \frac {1}{2}\pi & (n:even) \\ \frac {n-1}{n}\frac {n-3}{n-2}\frac {n-5}{n-4}\cdots \frac {2}{3}2 & (n:odd)\\ \end {array} \right . \end{eqnarray}
（\(I_1=2\)）である。よって
\begin{eqnarray} \int \d \Omega _n=2\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma (\frac {n}{2})} \end{eqnarray}
となる。これが半径\(1\)の\(n-1\)次元球面\(S^{n-1}\)の表面積である。従って半径\(r\)の\(n-1\)次元球面の 表面積は\(2\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma (\frac {n}{2})}r^{n-1}\)となる。よって半径\(r\)の \(n\)次元球体の\(n\)次元体積は
\begin{eqnarray} \frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{n\Gamma (\frac {n}{2})}r^n \end{eqnarray}
となる。
計量は(60)より
\begin{eqnarray} g_{ij}=\left ( \begin {array}{cccccc} 1& & & & &0\\ &r^2\prod _{i=2}^n\sin ^2\theta _i& & & & \\ & &r^2\prod _{i=3}^n\sin ^2\theta _i& & & \\ & & &\ddots & & \\ & & & &r^2\sin ^2\theta _n& \\ 0& & & & &r^2\\ \end {array} \right ) \nonumber \end{eqnarray}
となる。従って上付き添え字の計量\(g^{ij}\)は各成分が逆数となったもの
\begin{align} g^{ij}=\left ( \begin {array}{cccccc} 1& & & & &0\\ & \frac {1}{r^2\prod _{i=2}^n\sin ^2\theta _i}& & & & \\ & & \frac {1}{r^2\prod _{i=3}^n\sin ^2\theta _i}& & & \\ & & &\ddots & & \\ & & & &\frac {1}{r^2\sin ^2\theta _n}& \\ 0& & & & &\frac {1}{r^2}\\ \end {array} \right ) \nonumber \end{align}
で与えられる。
計量がわかったので線素\(\d s^2\)は
\begin{align} \d s^2 = \d r^2+r^2\prod ^n_{i=2}\sin ^2\theta _i \d \theta _1^2 +\cdots + r^2\sin ^2\theta _n\d \theta _{n-1}+r^2\d \theta _n^2 \nonumber \\ \end{align}
となる。従ってベクトル場\(\pdiffop {r}\)、\(\pdiffop {\theta _i}\ \ (i=1,2,\cdots , n)\)はすべて線素\(\d s^2\)による 内積に関して互いに直交する。これらは\(\Gamma (TM)\)の基底を張るので規格化して正規直交基底 \(\v {e}_r, \v {e}_{\theta _1},\cdots \v {e}_{\theta _n}\)が得られる。即ち
\begin{eqnarray} &&\v {e}_r=\pdiffop {r} \nonumber \\ &&\v {e}_{\theta _1}=\frac {1}{r\prod ^n_{i=2}\sin \theta _i}\pdiffop {\theta _1} \nonumber \\ &&\v {e}_{\theta _2}=\frac {1}{r\prod ^n_{i=3}\sin \theta _i}\pdiffop {\theta _2} \nonumber \\ &&\vdots \nonumber \\ &&\v {e}_{\theta _{n-1}}=\frac {1}{r\sin \theta _n}\pdiffop {\theta _{n-1}} \nonumber \\ &&\v {e}_{\theta _n}=\frac {1}{r}\pdiffop {\theta _n} \end{eqnarray}
となる。ものの本では極座標表示の際のベクトル場の成分はこの正規直交基底での成分を表すことが多い。
関数\(f\)の勾配は
\begin{align} \vf {\d }f &= g^{ij}\pdiff {f}{q^i}\pdiffop {q^j} \nonumber \\ &= \pdiff {f}{r}\pdiffop {r} +\frac {1}{r^2\prod ^n_{i=2}\sin ^2\theta _i}\pdiff {f}{\theta _1}\pdiffop {\theta _1} \nonumber \\ &\ \ \ +\cdots +\frac {1}{r^2\sin ^2\theta _n}\pdiff {f}{\theta _{n-1}}\pdiffop {\theta _{n-1}} \nonumber \\ &\hspace {10em}+\frac {1}{r^2}\pdiff {f}{\theta _n}\pdiffop {\theta _n} \nonumber \\ &= \pdiff {f}{r}\v {e}_{r}+\frac {1}{r\prod ^n_{i=2}\sin \theta _1}\pdiff {f}{\theta _1}\v {e}_{\theta _1} \nonumber \\ &\ \ \
+\cdots +\frac {1}{r\sin \theta _n}\pdiff {f}{\theta _{n-1}}\v {e}_{\theta _{n-1}} +\frac {1}{r}\pdiff {f}{\theta _n}\v {e}_{\theta _n} \nonumber \\ \end{align}
と表される。ラプラシアンの表記も良く用いられる。ラプラシアンは\(\dual \d \dual {\vf {\d }f}\)を計算することで与えられる。 即ち
\begin{align} \dual \d \dual {\t {\d }f} &= \frac {1}{\sqrt {g}}\pdiffop {q^{i}} \left (\sqrt {g}g^{ij}\pdiff {f}{q^j}\right ) \nonumber \\ &= \frac {1}{r^n}\pdiffop {r}\left (r^n\pdiff {f}{r}\right ) \nonumber \\ &\ \ \ +\frac {1}{r^2\prod ^n_{i=2}\sin ^2\theta _i}\pdiffn {2}{f}{\theta _1} \nonumber \\ &\ \ \ +\frac {1}{r^2\prod ^n_{i=3}\sin ^2\theta _i\cdot \sin \theta _2}\pdiffop {\theta _2} \left (\sin \theta _2\pdiff {f}{\theta _2}\right ) \nonumber \\ &\ \ \ \ \ \ \vdots \nonumber \\ &\ \ \ +\frac {1}{r^2\sin ^2\theta _n\cdot \sin ^{n-2}\theta _{n-1}} \pdiffop {\theta _{n-1}}\left (\sin ^{n-2}\theta _{n-1}\pdiff {f}{\theta _{n-1}}\right ) \nonumber \\ &\ \ \
+\frac {1}{r^2\cdot \sin ^{n-1}\theta _n}\pdiffop {\theta _n} \left (\sin ^{n-1}\theta _n\pdiff {f}{\theta _n}\right ) \end{align}
として得られる。
一般的な\(n+1\)次元で\(3\)次元ベクトル解析での 発散\(\divergent \v {A}\)に対応するものは\(\dual \d \dual \vf {A}\)である。 ベクトル場\(\vf {A}\)の成分はものの本では基底を\(\pdiffop {r},\pdiffop {\theta _1},\cdots \)に取った時の成分ではなく、 \(\v {e}_r,\v {e}_{\theta _1},\cdots \)を基底にとって表した時の成分を\(A^1,A^2,\cdots \)のように表すことが多い。以下では\(A^i\)はそのように取ったものを表すものとする。 また\(\pdiffop {r},\pdiffop {\theta _1},\cdots \)を基底にとった時の成分を\(B^i\)と書く。 即ち\(A^1\v {e}_r+A^2\v {e}_{\theta _1}+\cdots =B^1\pdiffop {r}+B^2\pdiffop {\theta _1}+\cdots \)である。計算すると
\begin{align} \dual \d \dual \vf {A} &= \frac {1}{\sqrt {g}}\pdiffop {q^i} \left (\sqrt {g}B^i\right ) \nonumber \\ &= \frac {1}{r^n}\pdiffop {r}\left (r^nA^1\right ) +\frac {1}{r\prod ^n_{i=2}\sin \theta _i}\pdiff {A^2}{\theta _1} \nonumber \\ &\ \ \
\frac {1}{r\prod ^n_{i=3}\sin \theta _i\cdot \sin \theta _2}\pdiffop {\theta _2} \left (\sin \theta _2A^3\right ) \nonumber \\ &\ \ \ \ \ \ \vdots \nonumber \\ &= \frac {1}{r\sin \theta _n\cdot \sin ^{n-2}\theta _{n-1}} \pdiffop {\theta _{n-1}}\left (\sin ^{n-2}\theta _{n-1}A^n\right ) \nonumber \\ &= \frac {1}{r\cdot \sin ^{n-1}\theta _n}\pdiffop {\theta _n}\left (\sin ^{n-1}\theta _nA^{n+1}\right ) \nonumber \\ \end{align}
と表されるのが分かる。
最後に\(n=2\)の場合、即ち\(3\)次元の場合に極座標表示での回転\(\rot \v {A}\)を計算する。 \(\rot \v {A}\)に対応するものは\(\dual \d \tv {A}\)であり、\(3\)次元の場合においてのみ1-vectorとなる。 再び\(\pdiffop {r},\pdiffop {\theta _1},\cdots \)を基底に取った時の成分を\(B^i\)で表して、\(\v {e}_r,\v {e}_{\theta _1},\cdots \)を基底に取った時の成分を\(A^i\)で表すと、
\begin{align} \dual \d \tv {A} &= \frac {1}{\sqrt {g}}\frac {\varepsilon ^{ijk}}{2!}\pdiff {B_j}{q^k}\pdiffop {q^i} \nonumber \\ &= \frac {1}{\sqrt {g}} \left ( \pdiff {B_2}{\theta _2}-\pdiff {B_3}{\theta _1} \right )\pdiffop {r} \nonumber \\ &\ \ \ + \frac {1}{\sqrt {g}} \left ( \pdiff {B_3}{r}-\pdiff {B_1}{\theta _2} \right )\pdiffop {\theta _1} \nonumber \\ &\ \ \ + \frac {1}{\sqrt {g}} \left ( \pdiff {B_1}{\theta _1}-\pdiff {B_2}{r} \right )\pdiffop {\theta _2} \nonumber \\ &= \frac {1}{r\sin \theta _2} \left ( \pdiffop {\theta _2}\left (\sin \theta _2A^2\right ) -\pdiff {A^3}{\theta _1} \right )\pdiffop {r} \nonumber \\ &\ \ \ + \frac {1}{r^2\sin \theta _2} \left (\pdiffop {r}\left (rA^3\right ) -\pdiff {A^1}{\theta _2} \right )\pdiffop {\theta _1} \nonumber \\ &\ \ \ + \frac {1}{r^2} \left ( \frac {1}{\sin \theta _2}\pdiff {A^1}{\theta _1}-\pdiffop {r}\left (rA^2\right ) \right )\pdiffop {\theta _2} \nonumber \\ &= \frac {1}{r\sin \theta _2} \left ( \pdiffop {\theta _2}\left (\sin \theta _2A^2\right ) -\pdiff {A^3}{\theta _1} \right )\v {e}_r \nonumber \\ &\ \ \ + \frac {1}{r} \left (\pdiffop {r}\left (rA^3\right ) -\pdiff {A^1}{\theta _2} \right )\v {e}_{\theta _1} \nonumber \\ &\ \ \ + \frac {1}{r} \left ( \frac {1}{\sin \theta _2}\pdiff {A^1}{\theta _1}-\pdiffop {r}\left (rA^2\right ) \right )\v {e}_{\theta _2} \nonumber \\ \end{align}
で表される。
もう一つの極座標の取り方
座標系の取り方が\(2\)次元の時にとる通常の極座標系と違ってしまうので、通常の\(2\)次元での極座標系の拡張となっているような\(n\)次元の極座標の取り方もできる。即ち \(0\leq \theta _1\leq 2\pi ,\ -\frac {\pi }{2}\leq \theta _i\leq \frac {\pi }{2}\ (i=1,2,\cdots ,n)\)として
\begin{eqnarray} \left \{ \begin {array}{l} x^1=r\cos \theta _1\cos \theta _2\cdots \cos \theta _{n-1}\cos \theta _n \\ x^2=r\sin \theta _1\cos \theta _2\cdots \cos \theta _{n-1}\cos \theta _n \\ x^3=r\sin \theta _2\cos \theta _3\cdots \cos \theta _n\\ \vdots \\ x^n=r\sin \theta _{n-1}\cos \theta _n \\ x^{n+1}=r\sin \theta _n \end {array} \right . \end{eqnarray}
である。 慣習的に物理では前節の極座標表示を取ることが多いが、数学ではこちらの表示を取ることが多いように思われる。 この時には変換行列\(C_{n+1}\)と\(C_n\)との関係は
\begin{eqnarray} \det C_{n+1} = r\cos ^{n-1}\theta _n\det C_n \end{eqnarray}
であり、負符号がつかない。また\(\det C_2=r\)であるので、 \((x_1,x_2,\cdots ,x_{n+1})\)と\((r,\theta _1,\theta _2,\cdots ,\theta _n)\)の 向きが同じであることが分かる。
体積要素は
\begin{eqnarray} \d x^1\cdots \d x^n = r^{n-1}\prod ^{n-2}_{i=1}\cos ^i\theta _{i+1}\cdot \d r\d \theta _1\cdots \d \theta _{n-1} \nonumber \\ \end{eqnarray}
となる。この場合にも\(S^{n-1}\)の体積要素を
\begin{eqnarray} \prod _{i=1}^{n-2}\cos ^i\theta _{i+1}\cdot \d \theta _1\cdots \d \theta _{n-1} = \d \Omega _n \end{eqnarray}
と置けば、先ほどと同様に
\begin{eqnarray} \int \d \Omega _n=2\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left (\frac {n}{2}\right )} \end{eqnarray}
であることが確かめられる。また計量は
\begin{align} g_{ij}=\left ( \begin {array}{cccccc} 1& & & & &0\\ &r^2\prod _{i=2}^n\cos ^2\theta _i& & & & \\ & &r^2\prod _{i=3}^n\cos ^2\theta _i& & & \\ & & &\ddots & & \\ & & & &r^2\cos ^2\theta _n& \\ 0& & & & &r^2\\ \end {array} \right ) \nonumber \end{align}
となる。