幾何のお話

このノートは主に微分幾何学の導入、特に微分形式の理解を得ることを目標としたものです。
物理学の中で力学や電磁力学といったものは空間の中での粒子や場の運動を扱います。従って幾何学的な性質を扱う数学の手法は、力学や電磁力学をはじめさまざまな物理理論を議論するのにとても相性がいいです。
力学の理論を記述するのに通常は適当な座標系を選んで、微分方程式など基本的な物理法則はその座標系に依存した形式で表現されることが通常です。
微分形式を学ぶことで、そこで扱う数学を座標系に依存しない形で記述するための方法を学ぶことができます。
このノートでは微分形式を自然な形で導入して、その取扱いや基本的な性質、また最終的に積分したり評価したりすることができるようになるための基礎的な知識の学習を行うことができるようになっています。
このノートでは対象とする読者が必ずしも数学に詳しいものばかりではない、むしろ物理畑の人に読んでほしいので、数学的に厳密な取り扱いや説明の仕方はとりませんでした。代わりに要点を速くつかめて、実用的で、しかしちゃんと理解できるように配慮して議論を進めました。
また微分形式の取り扱いをさっと学習したい読者にとっても最短コースとなっていると思います。

このテキストを読み終わるころには、例えば微分形式を自由に取り扱えるようになるだけでなく、例えば一般の$n$次元でのラプラシアンを極座標表示で書き下すためのシステマティックな計算方法を身につけられていたりすると思います。

ぜひご一読ください。

以下は本文のINTRODUCTIONより引用です。

はじめに物理において幾何学を用いることが適していると考える理由から述べよう。
例えば、粒子が適当な運動をしているとしよう。その時、普通はある適当な座標系
を選んでこの粒子の運動を記述するだろう。しかし、どんな座標系を選ぶかという
ことは物理的に本質的なことではないだろう。或いは、なにかある現象を語る際に、
なにか特別な座標系に固執しなければならない理由はない。電荷が保存することは
座標系の取り方とは無関係であるはずである。

以上のことから、物理を座標系の取り方によらないように記述することは理にかなっている。
そればかりかそのように記述することにより多くのことが簡略化される。

はじめのうちは、座標系を具体的にとって議論しているが、もちろんはじめから
座標を具体的に表すことなく議論することも出来るが、分かりやすさを何よりも
重視したかったので、敢えて座標系を具体的にとって話を展開した。
それでもその座標系の取り方は任意であり、また、次第に成分を具体的に書くこと
が少なくなるであろう。

トピック

• ベクトル場
• 微分形式
• 時間成分を含む微分形式の扱い
• 極座標（球座標）表示（計量、勾配$\mathrm{grad}$、ラプラシアン$\Delta$、発散$\mathrm{div}$、回転$\mathrm{rot}$）

など