\(% 自動抽出されたマクロ定義
% 元ファイル: 複素解析のお話.tex
% 生成日時: 2026-02-15 21:14:05
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\)
INTRODUCTION
ここでは簡単な複素解析の基礎のお話をする。多少実解析についての知識があることを
前提とするが、必ずしも必要ではないかもしれない。解析学はその考察の範囲を複素数
にまで及んだときにこそ美しいと思う。その調和のとれた複素解析
の世界の少しにでも触れられればと思う。
複素数
複素数\(z\)は実数\(x,y\)を用いて\(z=x+iy\)と書ける。\(z\)に共役な複素数は\(z^*=x-iy\)
と定義される。\(x\)と\(y\)は\(z,z^*\)を使って
\begin{eqnarray} \left ( \begin {array}{c} x\\ y\\ \end {array} \right )=\frac {1}{2} \left ( \begin {array}{cc} 1&1\\ -i&i \end {array} \right ) \left ( \begin {array}{c} z\\ z^* \end {array} \right ) \label {hukusojitu} \end{eqnarray}
と表せる。
複素関数
まず、ある（一般にはいくつかの、実または複素の）変数から複素数への
、どんな複素関数\(f\)も、
\begin{eqnarray} \left ( \begin {array}{c} u\\ v\\ \end {array} \right )=\frac {1}{2} \left ( \begin {array}{cc} 1&1\\ -i&i \end {array} \right ) \left ( \begin {array}{c} f\\ f^* \end {array} \right ) \end{eqnarray}
として\(u,v\)を定義すると、これらは実関数であり、\(f\)は
\begin{eqnarray} f=u+iv \end{eqnarray}
と書ける。\(u\)を\(Ref\)、\(v\)を\(Imf\)と書く。
極限
数列の極限
複素数の数列\(\alpha _n=a_n+ib_n\ (a_n,b_n\in \v {R})\)が\(\alpha =a+ib\)に収束
するとする。
\begin{eqnarray} \alpha _n-\alpha =(a_n-a)+i(b_n-b) \end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray} \cdot \ \alpha _n\rightarrow \alpha \Leftrightarrow \left \{ \begin {array}{l} \cdot \ a_n\rightarrow a\\ \cdot \ b_n\rightarrow b \end {array} \right . \end{eqnarray}
である。
関数の連続性
実または複素の変数\(z\)に対し、複素関数
\(f=u+iv\)が\(z=z_0\)で連続であることも、\(z\rightarrow z_0\)で
\begin{eqnarray} \cdot \ f(z)\rightarrow f(z_0)\Leftrightarrow \left \{ \begin {array}{l} \cdot \ u(z)\rightarrow u(z_0)\\ \cdot \ v(z)\rightarrow v(z_0) \end {array} \right . \end{eqnarray}
である。
微分
微分、正則性
複素変数\(z\)の関数\(f(z)\)に対し、\(z\rightarrow z_0\)で
\begin{eqnarray} f(z)=f(z_0)+\alpha (z-z_0)+o(|z-z_0|) \end{eqnarray}
である時、\(f\)は\(z=z_0\)で微分可能であるという。この時
\begin{eqnarray} \alpha =:\frac {\d f}{\d z}(z_0) \end{eqnarray}
と書く。
さらに、\(f\)が\(z=z_0\)のある近傍内の全ての点で微分可能であるとき、
\(f\)は\(z=z_0\)で正則であるという。
コーシー.リーマンの条件
(1)より、
\begin{eqnarray} &&\cdot \ \frac {\partial }{\partial z}=\frac {1}{2}\biggl [ \frac {\partial }{\partial x}-i\frac {\partial }{\partial y}\biggr ] \\ &&\cdot \ \frac {\partial }{\partial z^*}=\frac {1}{2}\biggl [ \frac {\partial }{\partial x}+i\frac {\partial }{\partial y}\biggr ] \label {kosiriman} \end{eqnarray}
が分かる。
この時、関数\(f(z,z^*)=u+iv\)が微分可能であることは、\(f\)が\(z^*\)に依存しない、即ち
\begin{eqnarray} \frac {\partial f}{\partial z^*}=0 \end{eqnarray}
に等しい。これを(10)を使って表すと、コーシー、リーマンの条件になる。
指数関数等
指数、三角関数
指数関数を
\begin{eqnarray} \cdot \ \exp z&:=&1+z+\frac {z^2}{2!}+\frac {z^3}{3!}+... \nonumber \\ &=&\sum ^\infty _{n=0}\frac {z^n}{n!} \end{eqnarray}
で定義する。また、三角関数を
\begin{eqnarray} \cdot \ \cos z&:=&1-\frac {z^2}{2!}+\frac {z^4}{4!}-... \nonumber \\ &=&\sum ^\infty _{k=0,2,4,...}\frac {\pm z^k}{k!} \\ \cdot \ \sin z&:=&z-\frac {z^3}{3!}+\frac {z^5}{5!}-... \nonumber \\ &=&\sum ^\infty _{l=1,3,5,...}\frac {\pm z^l}{l!} \end{eqnarray}
で定義する。
これらの良く知られた性質は直接の計算で容易に求まる。例えば、
\begin{eqnarray} \exp z\cdot \exp w&=&\sum _n\frac {z^n}{n!}\sum _m\frac {w^m}{m!} \nonumber \\ &=&\sum _{n,m}\frac {z^nw^m}{n!m!} \nonumber \\ &=&\sum _N\frac {1}{N!}\sum _{n+m=N}\frac {N!}{n!m!}z^nw^m \nonumber \\ &=&\sum _N\frac {1}{N!}\biggl (z+w\biggr )^N \nonumber \\ &=&\exp [z+w] \end{eqnarray}
など。
対数関数
\(z=r\exp (i\theta )\ (r,\theta \in \mathbb {R},r>0)\)と書いた時、適当な
実数\(a\)をとり、\(\theta \)を\(a\leq \theta \leq a+2\pi \)に限った時、
\(z\)と\(r,\theta \)の組は1対1に対応する。この時、明らかに\(r=\exp \ln |z|\)
なので、
\begin{eqnarray} z=\exp (\ln |z|+i\theta ) \end{eqnarray}
と書くことが出来る。この時
\begin{eqnarray} \log z:=\ln |z|+i\theta \end{eqnarray}
を対数関数という。特に、\(\theta \)の取る範囲を\(\theta =0\)を含む範囲に
取っている場合、\(\log \)は主値に取ってあるといい、これを（実変数の時の
\(\ln \)を拡張して）\(\ln \)と書く。明らかに任意に対数\(\log \)を取った時、
\begin{eqnarray} \log z=\ln z+i2n\pi \ \ (n\in \mathbb {Z}) \end{eqnarray}
の形で書ける。
一般の冪
一般に\(a^z\ (a,z\in \mathbb {C})\)を、（適当に\(\log \)を決めて）
\begin{eqnarray} a^z&:=&\exp (z\log a)\nonumber \\ &=&\exp [z(\ln a+i2n\pi )]\nonumber \\ &=&\exp (z\ln a)\exp (i2n\pi z). \end{eqnarray}
特に\(z=m\in \mathbb {Z}\)であれば、これは\(a^m\)に等しくなり、\(a\)の冪の
拡張になっている。
この\(a^z\)の定義は、当然\(\log \)をどう取ったかによって変わるが、\(z=m\in \mathbb {Z}\)の時は、
どれも一致する。
以下では、特に断らない限り、\(a^z\)を主値の\(\log \)で定義する。即ち
\begin{eqnarray} a^z=\exp (z\ln a) \end{eqnarray}
とする。よって
\begin{eqnarray} e^z=\exp z \end{eqnarray}
である。
積分
実数\(t\in [a,b]\)の複素関数\(f(t)=u(t)+iv(t)\)に対し、区間\([a,b]\)を\(n\)個の区間に分割し、
i番目の区間の中の任意の点を\(t_i\)、その区間の間隔を\(\Delta t_i\)とすると、
\begin{eqnarray} \sum ^n_{i=1}f(t_i)\Delta t_i=\sum ^n_{i=1}u(t_i)\Delta t_i+i\sum ^n_{i=1}v(t_i)\Delta t_i \end{eqnarray}
より、\(u,v\)が区間\([a,b]\)で積分可能であれば\(f\)も積分可能である。この時上式の極限値を
\begin{eqnarray} \int ^b_af(t)\d t=\int ^b_au(t)\d t+i\int ^b_av(t)\d t \end{eqnarray}
と書く。
曲線に沿った積分
実変数\(t\in [a,b]\)の複素関数\(z=z(t)\)は、\(t\)が\(a\)から\(b\)へ動くと、\(z(a)\)から\(z(b)\)へ動く。
この時\(z\)の動いた軌跡を\(C\)と書き、簡単に曲線という。
この時、複素関数\(f(z)\)に対して、
\begin{eqnarray} \int ^b_af(z)\frac {\d z}{\d t}\d t=:\int _Cf(z)\d z \label {sensekibun1} \end{eqnarray}
を\(f\)の曲線\(C\)に沿った積分という。
これは、次のようにして、実関数と同様、直接定義できる。即ち、曲線\(C\)を\(n\)個の区間
\([w_i,w_i+\Delta z_i]\ (w_{i+1}=w_i+\Delta z_i)\)に分割し、
そのi番目の区間内の任意の点を\(z_i\)とする。\(n\rightarrow \infty \)の時、\(\mathrm {max} \{|\Delta z_i|:i=1,2,...,n\}\rightarrow 0\)であるとして、
\begin{eqnarray} \sum ^n_{i=1}f(z_i)\Delta z_i \end{eqnarray}
が収束する時、これを
\begin{eqnarray} \int _Cf(z)\d z \end{eqnarray}
と書く。この定義の下で、実関数の積分と同様、\(f\)が正則である領域内に曲線\(C\)を
とれば、微分の積分がもとに戻ること、積分の微分がもとに戻ること、また、
\(z=g(w)\)があり、これも正則であるとすれば
\begin{eqnarray} \int _Cf(z)\d z=\int _{\acute {C}}f(z)\frac {\d g}{\d w}(w)\d w \end{eqnarray}
となることなどが分かる。ただし、\(\acute {C}\)は\(g\)で\(C\)に移るとする。
上の(24)の定義は、この特殊な場合といえる。
特に、曲線\(C\)が閉曲線の場合、
\begin{eqnarray} \oint _Cf(z)\d z \end{eqnarray}
と書く。
例1:\(f=\frac {c}{z}\)
・\(f(z)=\frac {c}{z}\)
(\(c\)は定数）の場合。\(z=r_te^{i\theta _t}\ (z\neq 0\ \mathrm {for} \ \forall t)\)と書くと、
\begin{eqnarray} \frac {\d z}{\d t}&=&\frac {|\dot {z}|}{|z|}z+i\dot {\theta }z\nonumber \\ &=&z\frac {\d }{\d t}\biggl (\ln |z|+i\theta \biggr ) \end{eqnarray}
より、
\begin{eqnarray} \int _Cf\d z&=&c\int ^b_a\d t\frac {\d }{\d t}\biggl (\ln |z|+i\theta \biggr )\nonumber \\ &=&c\biggl [\ln |z|+i\theta \biggr ]^b_a. \end{eqnarray}
従って、\(t=a,b\)において、\(|z(a)|=|z(b)|\)であるとすると、
\begin{eqnarray} =ic\biggl (\theta (b)-\theta (a)\biggr ). \end{eqnarray}
例2:正則な関数
複素平面内の、半径が\(R\)の円盤（内部、境界を含む）の領域\(D\)内の至るところで正則な
関数\(f(z)\)に対して、閉曲線\(C\subset D\)に沿った\(f\)の積分
\begin{eqnarray} \oint _Cf(z)\d z \end{eqnarray}
を考える。
まず、\(C\)に囲まれた領域を\(N\)個の領域\(D_i\ (i=1,...,N)\)に分割する。
その各々の領域\(D_i\)は、半径が\(r_i\)
(\(\sim \frac {R}{\sqrt {N}}\)程度）の円内に含む
ことが出来るとする。\(D_i\)の境界を\(C_i\)とする。この時
\begin{eqnarray} \oint _Cf(z)\d z=\sum ^N_{i=1}\oint _{C_i}f(z)\d z. \end{eqnarray}
この時、\(C_i\)内の任意の点\(z_i\)をとると、\(\Delta _i:=z-z_i\)として、
\begin{eqnarray} \oint _{C_i}f(z)\d z=\oint _{C_i}\biggl [f(z_i)+\alpha (\Delta _i)+o(|\Delta _i|)\biggr ]\d z. \end{eqnarray}
ここで、右辺の\([\cdots ]\)の中の第1項、第2項の積分は\(0\)になる。第3項は、曲線
\(C_i\)を、適当なパラメータ\(t\in [a,b]\)で表して、
\begin{eqnarray} \oint _{C_i}o(|\Delta _i|)\d z=o\biggl (\int ^b_a|\Delta _i|\left |\frac {\d z}{\d t}\right | \d t\biggr ). \end{eqnarray}
さらに、\(|\Delta _i|\leq 2r_i\sim \frac {R}{\sqrt {N}}\)及び、\(|\frac {\d z}{\d t}|\)を
\(\sim r_i\)程度に取れば（これは可能である）、
\begin{eqnarray} &=&o(r_i^2)\nonumber \\ &=&o(\frac {1}{N}).\nonumber \end{eqnarray}
よって、
\begin{eqnarray} \oint _Cf(z)\d z&=&\sum ^N_{i=1}o(\frac {1}{N})\nonumber \\ &=&o(1)\ \ (N\rightarrow \infty ). \end{eqnarray}
従って、\(f\)が領域\(D(\supset C)\)の至るところで正則である時、
\begin{eqnarray} \oint _Cf(z)\d z=0. \end{eqnarray}
コーシーの積分定理
前章の例1,2を応用して、次のことを証明することは容易であろう。
閉曲線\(C\)に囲まれた領域内の至るところで正則な関数\(f(z)\)に対し、その領域
内の任意の点\(z_0\)に対し、
\begin{eqnarray} \oint _C\frac {f(z)}{z-z_0}\d z=2\pi if(z_0) \end{eqnarray}
となる。これをコーシーの積分定理という。
正則関数の性質
簡単のため、以下では\(f(z)\)が至るところ正則であるとする。
積分が積分経路に因らないこと
\(z_0\)と\(z_1\)を結ぶ2つの曲線\(C_1,C_2\)に対して、\(f\)の積分
\begin{eqnarray} \int _{C_1}f\d z,\ \ \int _{C_2}f\d z \end{eqnarray}
に対し、これらの差は曲線\(C_1,C_2\)からなる閉曲線に沿った積分になるので、それは
\(0\)。即ち、上の2つは等しい。
コーシーの積分定理の拡張
\(f\)は正則なので微分可能。
\begin{eqnarray} \frac {\d f}{\d z}(\alpha )&=&\lim _{h=0}\frac {f(\alpha +h)-f(\alpha )}{h} \nonumber \\ &=&\lim _{h=0}\frac {1}{2\pi ih}\oint \biggl (\frac {1}{z-\alpha -h}-\frac {1}{z-\alpha }\biggr ) f(z)\d z \nonumber \\ &=&\frac {1}{2\pi i}\lim _{h=0}\oint \frac {f(z)}{(z-\alpha -h)(z-\alpha )}\d z \nonumber \\ &=&\frac {1}{2\pi i}\oint \frac {f(z)}{(z-\alpha )^2}\d z \end{eqnarray}
ここに、積分経路は\(\alpha \)を内側に含むようなものとする。また、最後の等式は
\(|\frac {f(\alpha )}{(z-\alpha )^n}|\)が積分経路上で有界であることから、極限と積分が
交換できる。
さらに、同様の変形をしていくと、実は\(f\)は何回でも微分可能であり、一般に
\begin{eqnarray} f^{(n)}(\alpha )=\frac {n!}{2\pi i}\oint \frac {f(z)}{(z-\alpha )^{n+1}}\d z \label {sekibunteiri} \end{eqnarray}
となることが証明できる。
テイラー展開
コーシーの積分定理から、
\begin{eqnarray} f(a)=\frac {1}{2\pi i}\oint _C\frac {f(z)}{z-a}\d z. \end{eqnarray}
ここで、閉曲線\(C\)は、\(z\in C\)が常に\(|z|>|a|\)であるように取る。従って、
\begin{eqnarray} f(a)&=&\frac {1}{2\pi i}\oint _C\sum _{n=0}a^n\frac {f(z)}{z^{n+1}}\d z \nonumber \\ &=&\frac {1}{2\pi i}\sum _{n=0}a^n\oint _C\frac {f(z)}{z^{n+1}}\d z \nonumber \\ &=&\sum _{n=0}\frac {a^n}{n!}f^{(n)}(0) \end{eqnarray}
となり、テイラー展開が導かれる。また、証明から、一般的に\(f\)が至るところ正則でないとしても
、その内側で\(f\)が正則であるような円形の領域内では、テイラー展開が出来ることが分かる。
その円形の領域の半径として取れるものの上限を収束半径という。\(f\)が有限の収束半径を
持つ場合、その円周上に少なくとも1点、\(f\)が正則でない点がないといけない。もしそうでないと、
さらにその半径より大きい円が取れることになってしまうからである。
最大値の原理
\(f(z)\)が領域\(D\)内で正則であるとする。\(a\in D\)として、曲線\(C\)を
\(z=a+re^{i\theta }\ (0\leq \theta \leq 2\pi )\)にとる。
\begin{eqnarray} f(a) &=& \frac {1}{2\pi i}\oint _C\frac {f(z)}{z-a} \d z \nonumber \\ &=& \frac {1}{2\pi }\int ^{2\pi }_{0}f(z)\d \theta \label {z_average} \end{eqnarray}
即ち、\(f(a)\)は\(a\)のまわりの曲線\(C\)の平均値となる。
従って点\(a\)で\(|f(a)|\)が極大値をとるとすると、曲線\(C\)の半径\(r\)を十分に小さくとれば
常に\(|f(a)| > |f(z)|\ (z \in C)\)であるようにとれる。
この時、
\begin{eqnarray} \left |f(a)\right | &=& \frac {1}{2\pi }\left |\int ^{2\pi }_{0}f(z)\d \theta \right | \nonumber \\ &\leq & \frac {1}{2\pi }\int ^{2\pi }_{0}\left |f(z)\right |\d \theta \nonumber \\ &<& |f(a)| \end{eqnarray}
となるため矛盾してしまう。従って\(|f(z)|\)は点\(a\)では極大値となりえない。
\(a\)は任意なので\(D\)の内部で\(|f(z)|\)が極大値をとらないことがわかる。
\(f(a)=u(a)+iv(a)\)と実部と虚部にわけた時、実部と虚部のそれぞれに対しても(44)より
曲線\(C\)上の平均値となることがわかる。
実部\(u(z)\)が点\(a\)で極大値をとるとすると、同様に
\begin{eqnarray} u(a) &=& \frac {1}{2\pi }\int ^{2\pi }_0u(z)\d \theta \nonumber \\ &<& u(a) \end{eqnarray}
となり矛盾する。従って実部も\(D\)の内部で極大値をとらない。
同様に極小値をとることもないことはすぐにわかる。
また、虚部の\(v(z)\)に対しても同様に議論できる。
従って\(D\)の内部で実部および虚部が極大、極小をとることがないことがわかる。
逆に\(|f(z)|\)が\(a\)で極小値を持つとき、かつ\(|f(a)|\neq 0\)であるとする。
この時、\(\frac {1}{f(z)}\)は\(a\)の十分小さな近傍でたしかに正則であるが、
\(a\)で\(\frac {1}{|f(z)|}\)が極大値を持つことになり矛盾。
従って\(|f(a)|\)が極小値であるならば\(f(a)=0\)である。
リュウビルの定理
複素平面\(\mathbb {C}\)全体で正則な関数（整関数という）を\(f(z)\)とする。
今、\(|f(z)|\)が有界である、即ちある定数\(C>0\)があり、任意の\(z\in \mathbb {C}\)で\(|f(z)| < C\)である時、
曲線\(C\)を\(z=a+Re^{i\theta }\ (0\leq \theta \leq 2\pi )\)ととると、
(41)より
\begin{eqnarray} \left |f^{(n)}(a)\right | &=& \frac {n!}{2\pi }\left |\oint \frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}\d z\right | \nonumber \\ &=& \frac {n!}{2\pi R^n}\left |\int ^{2\pi }_0 f(z)\d \theta \right | \nonumber \\ &<& \frac {n!\cdot C}{2\pi R^n} \end{eqnarray}
従って、\(R\rightarrowtail \infty \)の極限をとると右辺は\(\rightarrow 0\)、一方左辺は定数なので結局\(f^{(n)}(a)=0\)。
即ち\(f(z)\)は定数となる。
これをリュウビルの定理という。
特異点
関数\(f(z)\)が\(z=a\)で正則でない場合、\(f\)は\(z=a\)で特異点を持つという。
\(f\)が\(z=a\)の近傍で\(f\sim \frac {c}{(z-a)^n}\ (n=1,2,...)\)のように振る舞っている時
（\(z=a\)を除いて、近傍内で正則であるとする）、\(f\)は\(z=a\)でn位のpoleを持つという。この時、
\(f\)は\(z=a\)で正則でないので、特異点である。
\(f\)が\(z\rightarrow a\)で\(f\rightarrow \infty \)である時、\(f\)はそこに特異点を持つ。この時、
上のように書けない時、つまり\(z\rightarrow a\)で\((z-a)^nf(z)\rightarrow \infty \
(\forall n\in \mathbb {N})\)である時、真性特異点という。
有理型関数
冪級数の正則性、一致性
冪級数は、その収束円内において正則である（前述）。また、そこで実関数の時と同じで、
一致の定理が成立する。
有理型関数
関数\(f(z)\)が至るところで、正則であるかpoleであるかのいづれかである時、\(f\)は有理型である
という。
有理型関数\(f\)は、どんな有限な領域をとっても、その中には有限個のpoleしか存在しない。
もし無限にあれば集積点\(a\)を持ち、それも正則点ではない。さらに、そこではどんな近傍
を取っても\(a\)以外の特異点を含むので\(a\)はpoleではないことになる。
位数
一般に関数\(f\)が\(z=a\)で
\begin{eqnarray} f=\frac {c}{(z-a)^n}+\cdots \label {isuu} \end{eqnarray}
（\(n=\pm 1,\pm 2,\cdots \)）と書ける時、\(a\)は\(n\)位の点という。
特に\(n\)が負の場合には\(a\)は\(-n\)位の\(0\)点であるともいう。
積分定理
有理型関数\(f\)が\(z=a\)で\(n\)位の特異点を持つとする。この時、\(f\)が\(z=a\)の近傍で
\begin{eqnarray} f=\frac {c_n}{(z-a)^n}+\cdots +\frac {c_1}{z-a}+\cdots \end{eqnarray}
と書ける時、(41)より
\begin{eqnarray} \oint f(z)\d z=2\pi ic_1 \end{eqnarray}
となる。ただし、積分は\(a\)を囲み、それ以外のpoleを囲まないものとする。
\(c_1\)を点\(a\)の1位の値と呼ぶことにする。コーシーの積分定理は結局、有理型関数に対して
それを閉曲線上で積分すれば、その閉曲線内の全てのpoleの1位の値を拾ってくるといえる。
位数の和を積分で表すこと。
有理型関数\(f\)が\(z\sim a\)で(48)のように書ける時、\(z\sim a\)で
\begin{eqnarray} \frac {\dot {f}(z)}{f(z)}=\frac {-n}{z-a}+\cdots \end{eqnarray}
と書ける（\(f=\frac {\d f}{\d z}\)）。よって、\(z=a\)のpoleのみを囲む積分に対し、
\begin{eqnarray} \oint \frac {\dot {f}(z)}{f(z)}\d z=-2\pi in \end{eqnarray}
となる。
このことは明らかに、(48)で\(n\)が負であっても成立する(即ち\(z=a\)が0点である場合）。
従って任意の閉曲線\(C\)に対し、
\begin{eqnarray} \oint _C\frac {\dot {f}(z)}{f(z)}\d z=-2\pi i\sum [\mathrm {order}] \end{eqnarray}
となる。ただし、和は\(C\)で囲まれた領域内の位数の和である。
有理型関数の表示の例1
有理型関数\(\varphi (z)\)が\(z=0\)で正則であるとする。\(\varphi \)のpoleを\(\rho \)で表し、
その位数を\(n_\rho \)、1位の値を\(c_\rho \)とする。この時、
\begin{eqnarray} \oint \frac {\varphi (\zeta )}{\zeta ^{n+1}}\d \zeta = 2\pi i\biggl [\frac {1}{n!}\varphi ^{(n)}(0)+\sum \frac {c_\rho }{\rho ^{n+1}}\biggr ] \end{eqnarray}
となる。和は積分で囲まれる領域内の全ての\(\varphi \)のpole、\(\rho \)にわたる。
ここで\(L_\rho (z)\)を
\begin{eqnarray} L_\rho (z)\!:=\!\log \biggl (\!1\!-\!\frac {z}{\rho }\!\biggr )\!\!+\!\frac {z}{\rho }\!+\! \frac {1}{2}\biggl (\!\frac {z}{\rho }\!\biggr )^2\!\!\!+\!\cdots +\!\frac {1}{k} \biggl (\!\frac {z}{\rho }\!\biggr )^k \end{eqnarray}
とすると（\(k\)は後で決める）、これを\(z\)で微分すれば、
\begin{eqnarray} \dot {L}_\rho (z)\!\!\!&=&\!\!\!-\biggl [\frac {1}{\rho -z}-\frac {1}{\rho }-\frac {z}{\rho ^2}- \cdots -\frac {z^{k-1}}{\rho ^k}\biggr ] \nonumber \\ &=&\!\!\!-\biggl (\frac {z}{\rho }\biggr )^k\frac {1}{\rho -z} \end{eqnarray}
となる。また、同様の変形を行うと
\begin{eqnarray} \oint \frac {z^k\varphi (\zeta )}{\zeta ^k(\zeta -z)}\d \zeta \!\!\!&=&\!\!\! \oint \frac {\varphi (\zeta )}{\zeta -z}\d \zeta -\oint \frac {\varphi (\zeta )}{\zeta }\d \zeta -z\oint \frac {\varphi (\zeta )}{\zeta ^2}\d \zeta \nonumber \\ &&\!\!\!-z^2\oint \frac {\varphi (\zeta )}{\zeta ^3}\d \zeta -\cdots - z^{k-1}\oint \frac {\varphi (\zeta )}{\zeta ^k}\d \zeta \nonumber \\ &=&\!\!\!2\pi i\biggl [\varphi (z)+\sum \frac {c_\rho }{\rho -z}- \biggl (\varphi (0)+\sum \frac {c_\rho }{\rho }\biggr ) \nonumber \\ &&\!\!\!-z\biggl (\frac {\dot {\varphi }(0)}{1!}+\sum \frac {c_\rho }{\rho ^2}\biggr )- z^2\biggl (\frac {\ddot {\varphi }(0)}{2!}-\sum \frac {c_\rho }{\rho ^3}\biggr ) \nonumber \\ &&\!\!\!-\cdots -z^{k-1}\bigg (\frac {\varphi ^{(k-1)}(0)}{(k-1)!} +\sum \frac {c_\rho }{\rho ^k}\biggr )\biggr ]. \label {53} \end{eqnarray}
よって、もしこの式の左辺が積分の領域が全複素平面を囲むような極限で\(\rightarrow 0\)
であるならば1
、
\begin{eqnarray} \varphi (z)\!\!\!&=&\!\!\!-\sum \frac {c_\rho }{\rho -z}+\biggl (\varphi (0)+\sum \frac {c_\rho }{\rho }\biggr ) +z\biggl (\frac {\dot {\varphi }(0)}{1!}+\sum \frac {c_\rho }{\rho ^2}\biggr ) \nonumber \\ &&\!\!\!+z^2\biggl (\frac {\ddot {\varphi }(0)}{2!}\!+\!\sum \frac {c_\rho }{\rho ^3}\biggr )\!+\!\cdots \!+\! z^{k-1}\biggl (\frac {\varphi ^{(k-1)}(0)}{(k-1)!}\!+\!\sum \frac {c_\rho }{\rho ^k}\biggr ) \nonumber \\ \!\!\!&=&\!\!\!\biggl [\varphi (0)+\frac {z}{1!}\dot {\varphi }(0)+\frac {z^2}{2!}(0)+\cdots +\frac {z^{(k-1)}}{(k-1)!}\varphi ^{(k-1)}(0)\biggr ] \nonumber \\ &&\!\!\!+\sum c_\rho \dot {L}_\rho (z) \end{eqnarray}
と書ける。上式の最後の等式の右辺の1段目の多項式を\(\theta (z)\)と置き、
\begin{eqnarray} \dot {L}_\rho (z)=-\biggl [\frac {z^k}{\rho ^{k+1}}+\frac {z^{k+1}}{\rho ^{k+2}}+ \frac {z^{k+2}}{\rho ^{k+3}}+\cdots \biggr ] \end{eqnarray}
と書けることより
\begin{eqnarray} \varphi (z)\!\!\!\! &=&\!\!\!\!\theta (z)+\sum c_\rho \dot {L}_\rho (z) \nonumber \\ &=&\!\!\!\!\theta (z)+\sum \biggl (\frac {z}{\rho }\biggr )^k\frac {c_\rho }{z-\rho } \nonumber \\ &=&\!\!\!\!\theta (z)\!-\!z^k\!\sum _\rho \!\frac {c_\rho }{\rho ^{k+1}} \!-\!z^{k+1}\!\sum _\rho \!\frac {c_\rho }{\rho ^{k+2}}\!-\!k^{k+2}\! \sum _\rho \!\frac {c_\rho }{\rho ^{k+3}} \!+\!\cdots \nonumber \\ && \end{eqnarray}
となる（\(k\)はここに現れる級数が収束するような最少のものとして決めるのである）。ここで
\begin{eqnarray} \zeta _\varphi (s):=\sum _\rho \frac {c_\rho }{\rho ^s} \end{eqnarray}
と置くと、
\begin{eqnarray} \varphi (z)\!\!\! &=&\!\!\!\theta (z)\!-\!z^k\zeta _\varphi (k\!+\!1)\! -\!z^{k+1}\zeta _\varphi (k\!+\!2)\! \nonumber \\ &&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\!z^{k+2} \zeta _\varphi (k\!+\!3)\!-\!\cdots \nonumber \\ \!\!\!&=&\!\!\!\theta (z)-\sum _{n=k}^{\infty }z^n\zeta _\varphi (n+1) \label {58} \end{eqnarray}
となる。
有理型関数の表示例2
今度は有理型関数\(f(z)\)が\(z=0\)で有限の値を持ち、\(f(0)\neq 0\)とする。
この時、
\begin{eqnarray} \varphi (z):=\frac {\dot {f}(z)}{f(z)} \end{eqnarray}
はまた有理型で、\(f\)の0点またはpoleにおいて、それを\(\rho \)とし、
位数を\(-n_\rho \)とすると、\(\varphi \)は点\(\rho \)で1位のpoleで、その1位の
値は\(n_\rho \)となるのが分かる。よってこれを\(z\)で\(0\sim z\)で積分すると
\begin{eqnarray} \log \biggl [\frac {f(z)}{f(0)}\biggr ]\!\!\!\!&=&\!\!\!\! \int ^z_0\theta (z)\d z+\sum _\rho n_\rho L_\rho (z). \end{eqnarray}
よって、
\begin{eqnarray} f(z) \!\!\!\!\!&=&\!\!\!\!\!f(0)e^{\int ^z_0\theta (z)\d z}\prod _\rho \biggl [\biggl (1-\frac {z}{\rho }\biggr )e^{\sum ^k_{m=1}\frac {1}{m}(\frac {z}{\rho })^m} \biggr ]^{n_\rho } \nonumber \\ &=&\!\!\!\!\!f(0)\exp \biggl [\int ^z_0\!\!\!\theta (z)\d z\!-\! \frac {z^{k\!+\!1}}{k\!+\!1}\zeta _\varphi (k\!+\!1) \nonumber \\ &&-\frac {z^{k\!+\!2}}{k\!+\!2}\zeta _\varphi (k\!+\!2) -\frac {z^{k\!+\!3}}{k\!+\!3}\zeta _\varphi (k\!+\!3)\!-\!\cdots \biggr ]. \nonumber \\ \label {mugenseki} \end{eqnarray}
ここで
\begin{eqnarray} \zeta _\varphi (s):=\sum _\rho \frac {n_\rho }{\rho ^s} \label {62} \end{eqnarray}
である。(65)の右辺の最初の段の表示を無限積表示という。
具体的な例
前節での計算をいくつかの具体例で見てみる。まず
\(f(z)=\cos (z)\)の場合。\(\varphi (z)=-\tan z\)である。
必要なのは(57)の左辺が\(0\)になるかどうかの評価である。\(z=\alpha +i\beta \)と置けば
\begin{eqnarray} \varphi (z)&=&i\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}} \nonumber \\ &=&i\frac {e^{-\beta +i\alpha }-e^{\beta -i\alpha }}{e^{-\beta +i\alpha }+e^{\beta -i\alpha }} \nonumber \end{eqnarray}
よって
\begin{eqnarray} |\varphi (z)|\leq \left |\frac {e^{-\beta }+e^{\beta }}{e^{-\beta }-e^\beta }\right | \nonumber \end{eqnarray}
となるが、これは\(\beta \rightarrow \infty \)で\(\mathcal {O}(1)\)である。よって無限積表示が成立する。
\(\varphi (z)=-\tan (z)\)のpoleは\((n+\frac {1}{2})\pi \ (n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )\)であり、
それらは全て1位のpoleで1位の値は1である。よって
\begin{eqnarray} \cos z&=&\prod ^\infty _{n=-\infty }\left (1-\frac {z}{(n+\frac {1}{2})\pi }\right ) e^{\frac {z}{(n+\frac {1}{2})\pi }} \nonumber \\ &=&\prod _{n=0}\left (1-\frac {z^2}{(n+\frac {1}{2})^2\pi ^2}\right ) \end{eqnarray}
となる。また(62)、(66)の表示より
\begin{eqnarray} \tan z=c_0+c_1z+c_2z^2+c_3z^3+\cdots \end{eqnarray}
とすれば、係数は\(c_0=0\)で\(k\geq 1\)では
\begin{eqnarray} c_k=\sum _{n=0}^\infty \frac {1}{\pi ^{k+1}}\left (\frac {1}{(n+\frac {1}{2})^{k+1}} +\frac {(-1)^{k+1}}{(n+\frac {1}{2})^{k+1}}\right ) \end{eqnarray}
よって\(c_{2q}=0\ (q\geq 1)\)、
\begin{eqnarray} c_{2q-1}&=&\frac {2}{\pi ^{2q}}\sum _{n=0}^\infty \frac {1}{(n+\frac {1}{2})^{2q}} \nonumber \\ &=&2\left (\frac {2}{\pi }\right )^{2q}\sum _{l=1}^\infty \frac {1}{l^{2q}} \end{eqnarray}
（ここで\(l\)は正の奇数\(l=1,3,5,7,\cdots \)全てにわたる）となる。
次に\(f(z)=\sin z\)の場合。\(\varphi (z)=\frac {\cos z}{\sin z}=\cot z\)である。
この時は\(\varphi \)が\(z=0\)でもpoleを持つが、ちょっと修正すれば前節のことが成り立つ。
(57)では\(k=1\)まででよい。(57)の左辺の評価は\(\cos z\)の時とほぼ同様で\(0\)になる。
よって
\begin{eqnarray} \oint \frac {\varphi (\zeta )}{\zeta -z}\d \zeta =\oint \frac {\varphi (\zeta )}{\zeta }\d \zeta \label {67} \end{eqnarray}
左辺の被積分関数は\(\zeta =z,0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\cdots \)で1位のpoleを持ち、
右辺の被積分関数は\(\zeta =\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\cdots \)で1位のpoleを持つ。
\begin{eqnarray} \varphi (z)=\cot z=\frac {1}{z}+c_0+c_1z+\cdots \end{eqnarray}
と置けば、(71)より
\begin{eqnarray} \left (\varphi (z)-\frac {1}{z}+\sum \left (\frac {1}{\rho -z}-\frac {1}{\rho }\right )-c_0\right )=0 \end{eqnarray}
よって
\begin{eqnarray} \varphi (z)=\frac {1}{z}+c_0+\sum \dot {L}_\rho (z) \end{eqnarray}
これを\(z=1\)から\(z\)まで積分すれば
\begin{eqnarray} \log \left [\frac {f(z)}{f(1)}\right ]=\log z+c_0(z-1)+\sum L_\rho (z) \end{eqnarray}
よって適当な定数\(A\)を用いて
\begin{eqnarray} f(z)=Aze^{c_0z}\underset {n\neq 0}{\prod ^\infty _{n=-\infty }} \left (1-\frac {z}{n\pi }\right )e^{\frac {z}{n\pi }} \end{eqnarray}
となる。\(\cot z\)が奇関数であるので、\(c_0=0\)。また\(z\rightarrow 0\)で\(\sin z\sim z\)のように
振る舞うので\(A=1\)。よって
\begin{eqnarray} \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left (1-\frac {z^2}{n^2\pi ^2}\right ) \end{eqnarray}
となる。\(\cot z\)の係数は
\begin{eqnarray} c_k=\sum \left (\frac {1}{n^{k+1}}+\frac {(-1)^{k+1}}{n^{k+1}}\right )\frac {1}{\pi ^{k+1}} \end{eqnarray}
となる。よって\(c_{2q}=0\)、
\begin{eqnarray} c_{2q-1}=-\frac {2}{\pi ^{2q}}\sum ^{\infty }_{n=1}\frac {1}{n^{2q}} \end{eqnarray}
ここで与えた2つの級数\(\sum \frac {1}{l^{2q}}\)、\(\sum \frac {1}{n^{2q}}\)の収束性は
”解析の話発展編”noteで調べる。
ベルヌーイ数を使った表示
ここではベルヌーイ数を定義し、それを使って前節で求めた\(\tan z\)、\(\cot z\)の係数を表す。
ベルヌーイ数\(B_n\)は
\begin{eqnarray} \frac {x}{1-e^{-x}}=1+\frac {1}{2}x+\frac {B_1}{2!}x^2-\frac {B_2}{4!}x^4+\frac {B_3}{6!}x^6 -\cdots \label {76} \end{eqnarray}
で定義される。この関数は\(\mathrm {Td}(x)\)と書き、トッド関数といわれる。
最初のいくつかのベルヌーイ数は（\(B_0=-1\)）\(B_1=\frac {1}{6}\)、\(B_2=\frac {1}{30}\)、
\(B_3=\frac {1}{42}\)、\(\cdots \)となる。
\begin{eqnarray} \cot w\!\!\!\!&=&\!\!\!\!i\frac {e^{iw}+e^{-iw}}{e^{iw}-e^{-iw}} \nonumber \\ &=&\!\!\!\!i\frac {2e^{-iw}}{e^{iw}-e^{-iw}}+i \nonumber \\ &=&\!\!\!\!-2i\frac {1}{1-e^{2iw}}+i \nonumber \\ &=&\!\!\!\!\frac {1}{w}\mathrm {Td}(-2iw)+i \nonumber \\ &=&\!\!\!\!\frac {1}{w}-\frac {2^2B_1}{2!}w-\frac {2^4B_2}{4!}w^3 -\frac {2^6B_3}{6!}w^5-\cdots \nonumber \\ \end{eqnarray}
よって前節で求めた\(\cot z\)の係数と比較すれば
\begin{eqnarray} &&c_{2q-1}=-\frac {2^{2q}B_q}{(2q)!} \\ &&\sum _{n=1}\frac {1}{n^{2q}}=\frac {2^{2q-1}B_q}{(2q)!}\pi ^{2q} \end{eqnarray}
を得る。
同様に
\begin{eqnarray} \tan w&=&-i\frac {e^{iw}-e^{-iw}}{e^{iw}+e^{-iw}} \nonumber \\ &=&\frac {2i}{e^{2iw}+1}-i \nonumber \\ &=&\frac {1}{w}\left (\frac {2iw}{e^{2iw}-1}-\frac {2\cdot 2iw}{e^{2\cdot 2iw}-1}\right ) -i \nonumber \\ &=&\frac {1}{w}\biggl (\mathrm {Td}(-2iw)-\mathrm {Td}(-2^2iw)\biggr )-i \nonumber \\ &=&\frac {2^2(2^2-1)}{2!}B_1w+\frac {2^4(2^4-1)}{4!}B_2w^3 \nonumber \\ &&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\frac {2^6(2^6-1)}{6!}B_3w^5+\cdots \nonumber \\ \end{eqnarray}
よって\(\tan z\)の係数と比較して
\begin{eqnarray} &&c_{2q-1}=\frac {2^{2q}(2^{2q}-1)}{(2q)!}B_q \\ &&\sum _{l=1,3,5,\cdots }\frac {1}{l^{2q}}=\frac {2^{2q}-1}{2(2q)!}B_q\pi ^{2q} \end{eqnarray}
を得る。
オイラー数を使った表示
オイラー数\(E_n\)は
\begin{eqnarray} \frac {1}{\cos x}=E_0+\frac {E_1}{2!}x^2+\frac {E_2}{4!}x^4+\frac {E_3}{6!}x^6+\cdots \end{eqnarray}
で定義される。最初のいくつかは\(E_0=1,E_1=1,E_2=5,E_3=61\)などである。
これも級数の収束値として表示することが出来る。まず\(\frac {\pi }{2\cos \frac {\pi s}{2}}\)を考える。
これは\(s=\pm 1,\pm 3,\pm 5,\cdots \)で1位のpoleを持つ。1位の値は順に
\(\pm 1,\mp 1,\pm 1,\cdots \)となる。これはベキ級数表示は
\begin{eqnarray} &&\frac {\pi }{2\cos \frac {\pi s}{2}} \nonumber \\ &&=\frac {\pi }{2}\left ( E_0+\frac {E_1}{2!}\left (\frac {\pi }{2}\right )^2s^2+\frac {E_2}{4!}\left (\frac {\pi }{2}\right )^4 s^4+\cdots \right ) \nonumber \\ \end{eqnarray}
ここで、
\begin{eqnarray} \frac {\pi }{2\cos \frac {\pi s}{2}}=c_0+c_1s+c_2s^2+c_3s^3+\cdots \end{eqnarray}
とすると、13.6節を適応させると
\begin{eqnarray} c_n&=&1-(-1)^{n+1}-\frac {1}{3^{n+1}}+\frac {1}{(-3)^{n+1}} \nonumber \\ &&\ \ \ \ +\frac {1}{5^{n+1}}-\frac {1}{(-5)^{n+1}}+\cdots \end{eqnarray}
よって\(n\)が奇数の時\(c_n=0\)。\(n\)が偶数の時
\begin{eqnarray} c_{2n}=2\left (1-\frac {1}{3^{2n+1}}+\frac {1}{5^{2n+1}}-\cdots \right ) \end{eqnarray}
即ち、係数を比較すれば
\begin{eqnarray} \sum _{l=1,3,5,\cdots }^\infty (-1)^{\frac {l-1}{2}}\frac {1}{l^{2n+1}} =\frac {\left (\frac {\pi }{2}\right )^{2n+1}}{2(2n)!}E_n \end{eqnarray}
が得られる。