複素解析のお話

複素解析学の基本的なお話をnoteにまとめました。
複素数を扱う一般的な解析学のトピックをダイジェスト的にまとめました。

このノートは、わたしが複素解析の美しさに魅かれて、そのエッセンスをまとめておきたくなって書いたものです。
実解析の知識が少しあれば、入り口としては十分です。複素数や複素関数の定義、極限や連続性といった基本から始まり、微分可能性と正則性、そしてコーシー・リーマンの条件へと進んでいきます。

特に、正則関数の振る舞いがいかに滑らかで、制限の多い存在であるか――それがコーシーの積分定理やテイラー展開、最大値の原理、リウヴィルの定理などを通して自然に浮かび上がってくるよう意識して構成しました。

また、一般的な有理型関数の極・位数と積分の関係、無限積表示とその具体例（$\cos$, $\sin$, $\tan$ など）や、ベルヌーイ数・オイラー数との関連まで触れています。

難解な証明は避けつつも、数式の背景にはちゃんと踏み込んでいます。「関数が"正則"だとどうなるのか？」「積分ってなんでそんなに強力なの？」といった疑問を持った人に向けて、できるだけ自分の言葉で説明しようと努めました。
複素解析の世界の魅力の"入口"として、少しでもお役に立てばうれしいです。

以下トピックです。

• 複素数
• 複素関数
• 極限、連続性
• 微分
• 指数関数
• 積分
• コーシーの積分定理
• 正則関数の性質
• 特異点
• 有理型関数、有理型関数の級数表示例、有理型関数の無限積表示例

など

p.s.

簡単にまとめていますが、演習問題などは含みません。

また論理展開はシンプルであることを目指しています。

数学的な厳密性よりは、直観的な理解の助けになることに重きを置いています。

みなさんの学習のご参考になれば幸いです。