連分数(HTML) (TKGさん） | ScienceHub (サイエンスハブ)

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INTRODUCTION

連分数とは例えば

\begin{eqnarray} \phi =\cfrac {1}{1+\cfrac {1}{1+ \cfrac {1}{1+\cfrac {1}{\vdots }}}} \end{eqnarray}

といった形で書ける数のことである。ここではこの値が何になるかを考える。まず、\(y=\frac {1}{1+x}\)を考えると幾何学的な理解を得られる。\(x-y\)平面上に\(y=\frac {1}{1+x}\)及び\(y=x\)のグラフを書く（下図）。

\begin{align} 　 \end{align}

最初\(x=x_0\)を選び、

\begin{align} 　 \end{align}

の収束値が\(\phi \)である。これはグラフで見ると、まず\(a_1=x_0\)である。 \(x=x_0\)から縦線を引いて\(y=\frac {1}{1+x}\) のグラフと交わる点を取る。次にその点から横線を引いて\(y=x\)で交わる点からまた縦線を引いて、その縦線と\(x\)軸が交わるところが\(a_2\)である。以下その繰り返し操作を行い、収束していく点が\(\phi \)である。この収束点は実際にこの操作をやってみればわかるが、 \(x_0>-1\)であれば\(y=x\)と\(y=\frac {1}{1+x}\)の交点（右側）に収束していく。従って\(x=\frac {1}{1+x}\) の正の解が収束点である。即ち\(\phi =\frac {\sqrt {5}-1}{2}\)である。また\(x_0=-1\)の時発散する。 \(x_0<-1\)の時はほとんどの点では\(\frac {\sqrt {5}-1}{2}\)へ収束していくが、\(x=-1\)からこの操作の逆をたどっていける点全てにおいて発散することが分かる。

以上のように連分数とは、分数の形で定義された数列の極限値として定義される。このnoteではこの連分数について簡単な考察をする。

連分数

\begin{eqnarray} \phi _1=\cfrac {a_1}{b_1+\cfrac {a_2}{b_2+\cfrac {a_3}{\vdots }}} \end{eqnarray}

を考える。例えば

\begin{eqnarray} \cfrac {1}{1+\cfrac {1}{1+\cfrac {1}{\vdots }}},\ \ \ \ \cfrac {1}{2+\cfrac {1}{2+\cfrac {1}{\vdots }}} \end{eqnarray}

のようなものである。一般に無限連分数を作って、それが収束するとは限らない。そこで有限連分数を考え、その極限を取って収束するかどうかを考える。まず無限連分数として

\begin{eqnarray} \phi _2=\cfrac {a_2}{b_2+\cfrac {a_3}{b_3+\cfrac {a_4}{\vdots }}} ,\cdots ,\ \ \ \ \ \ \phi _n=\cfrac {a_n}{b_n+\cfrac {a_{n+1}}{b_{n+1}+\cfrac {a_{n+2}}{\vdots }}} \end{eqnarray}

とすると漸化式

\begin{eqnarray} \phi _n=\frac {a_n}{b_n+\phi _{n+1}} \end{eqnarray}

を得る。また有限連分数

\begin{eqnarray} \Phi _n=\cfrac {a_1}{b_1+\cfrac {a_2}{b_2+\cfrac {a_3}{\cfrac {\vdots } {b_{n-1}+\cfrac {a_n}{b_n}}}}} \end{eqnarray}

を考える時、

\begin{eqnarray} \phi _1=\cfrac {a_1}{b_1+\cfrac {a_2}{\cfrac {\vdots }{b_{n-1}+\phi _n}}} \end{eqnarray}

であるので、\(\Phi _n\)は\(\phi _1\)の\(\phi _n\)を\(\frac {a_n}{b_n}\)に置き換えたものに等しい。ここで\(\phi _1=\lim _{n\rightarrow \infty }\Phi _n\)と書ける。

例1）　\(a_n=1,\ b_n=1\)の時、有限連分数\(\Phi _n\)の列は\(\{\Phi _n\}=\{1,\frac {1}{2}, \frac {2}{3},\frac {3}{5},\ \frac {5}{8},\frac {8}{13},\cdots \}\)で与えられ、 \(\Phi _n\rightarrow \frac {\sqrt {5}-1}{2}\)である。

例2）　\(a_n=1,\ b_n=2\)の場合には有限連分数\(\Phi _n\)の列は \(\{\Phi _n\}=\{\frac {1}{2},\frac {2}{5}, \frac {5}{12}, \frac {12}{29},\frac {29}{70},\frac {70}{169},\cdots \}\)であり、 \(\Phi _n\rightarrow \sqrt {2}-1\)である。

さて、ここで\(\phi _1=\frac {a_1}{b_1+\phi _2}\)となるが、\(\phi _1\)を\(\phi _3\)で表せば

\begin{eqnarray} \phi _1=\frac {a_1\phi _3+a_1b_2}{b_1\phi _3+a_2+b_1b_2} \end{eqnarray}

となる。さらに\(\phi _1\)を\(\phi _4\)で表せば

\begin{eqnarray} \phi _1=\frac {a_1b_2\phi _4+a_1a_3+a_1b_2b_3}{(a_2+b_1b_2)\phi _4+a_3b_1+b_1b_2b_3} \end{eqnarray}

となる。一般には\(\phi _1\)を\(\phi _n\)で表したとすると、次にそれを\(\phi _{n+1}\)で表す時、 \(\phi _n=\frac {a_n}{b_n+\phi _{n+1}}\)となることから、分母分子共に\(\phi _n\)のかかってない項が次の\(\phi _{n+1}\)の係数となるのが分かる。\(\phi _{n+1}\)のかかってない項は\(\phi _n\)の係数に\(a_n\)をかけて、それに\(\phi _{n+1}\)の係数に\(b_n\)をかけたものを加えたものになる。即ち\(\phi _1\)を\(\phi _n\)で表したとき、分子の\(\phi _n\)の係数を\(K_n\)、分母のほうを\(P_n\)で表せば、一般には

\begin{eqnarray} \phi _1=\frac {K_n\phi _n+K_{n+1}}{P_n\phi _n+P_{n+1}} \label {ren-zen} \end{eqnarray}

となるが分かる。ここで\(P_n,K_n\)は

\begin{eqnarray} P_{n+2}=a_nP_n+b_nP_{n+1},\ \ \ K_{n+2}=a_nK_n+b_nK_{n+1} \end{eqnarray}

の漸化式を満たし、初項は\(P_2=1,P_3=b_1,K_2=0,K_3=a_1\)で与えられる。この無限連分数の\(\phi _n\)での表示(12)の\(\phi _n\)を\(\frac {a_n}{b_n}\)で置き換えれば、それが有限連分数\(\Phi _n\)となる。従って\(\Phi _n\)は

\begin{eqnarray} \Phi _n=\frac {K_{n+2}}{P_{n+2}} \end{eqnarray}

と書ける。即ち数列\(P_n,K_n\)が求まれば\(\Phi _n\)が求まる。

次に\(\phi _1\)を\(\phi _n\)で表示した時に、分子を分母で割って分子から\(\phi _n\)を取ることが出来る。その時の表示を

\begin{eqnarray} \phi _1=\frac {Q_n}{P_n\phi _n+P_{n+1}}+R_n \end{eqnarray}

とする。数列\(Q_n,R_n\)と\(K_n\)との関係を見てみる。上式を分数で表すと

\begin{eqnarray} \phi _1=\frac {P_nR_n\phi _n+Q_n+R_nP_{n+1}}{P_n\phi _n+P_{n+1}} \end{eqnarray}

となる。従って\(K_n=P_nR_n,\ K_{n+1}=Q_n+R_nP_{n+1}\)となる。\(K_{n+1}=P_{n+1}R_{n+1}\)となることにより、\(P_{n+1}R_{n+1}=Q_n+R_nP_{n+1}\)となる。従って \(R_{n+1}=R_n+\frac {Q_n}{P_{n+1}}\)である。即ち

\begin{eqnarray} R_n=\frac {Q_{n-1}}{P_n}+\frac {Q_{n-2}}{P_{n-1}}+\cdots +\frac {Q_2}{P_3}+R_2 \end{eqnarray}

が得られる。\(\phi _1=\frac {a_1}{b_1+\phi _2}\)より\(R_2=0\)である。これより

\begin{eqnarray} R_n=\sum _{k=2}^{n-1}\frac {Q_k}{P_{k+1}} \label {R-zenka} \end{eqnarray}

を得る。

次に\(\phi _1\)を\(\phi _{n+1}\)で表示すると

\begin{eqnarray} \phi _1\!\!\!\!&=&\!\!\!\!\frac {Q_n(b_n+\phi _{n+1})}{P_{n+1}\phi _{n+1}+P_{n+2}}+R_n \nonumber \\ 　 &=&\!\!\!\!\frac {\frac {Q_n}{P_{n+1}}(P_{n+1}\phi _{n+1}+P_{n+2})+(b_n-\frac {P_{n+2}}{P_{n+1}})Q_n} {P_{n+1}\phi _{n+1}+P_{n+2}}+R_n \nonumber \\ 　 &=&\!\!\!\!\frac {-\frac {a_nP_n}{P_{n+1}}Q_n}{P_{n+1}\phi _{n+1}+\phi _{n+2}}+\frac {Q_n}{P_{n+1}} +R_n \end{eqnarray}

これより\(Q_{n+1}=-a_n\frac {P_n}{P_{n+1}}Q_n\)を得る。この漸化式より

\begin{eqnarray} Q_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!\left (-a_{n-1}\frac {P_{n-1}}{P_n}\right )\left (-a_{n-2}\frac {P_{n-2}}{P_{n-1}}\right ) \cdots \left (-a_2\frac {P_2}{P_3}\right )Q_2 \nonumber \\ 　 &=&\!\!\!\!(-1)^{n-2}\frac {P_2}{P_n}a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2Q_2 \end{eqnarray}

を得る。ここで\((-1)^{n-2}=(-1)^n\)、\(P_2=1,Q_2=a_1\)より

\begin{eqnarray} Q_n&=&(-1)^n\frac {a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_1}{P_n} \end{eqnarray}

となる。(18)に代入すれば

\begin{eqnarray} R_n=\frac {a_1}{P_2P_3}-\frac {a_1a_2}{P_3P_4}+\frac {a_1a_2a_3}{P_4P_5}-\cdots +(-1)^n\frac {a_1\cdots a_{n-1}}{P_{n-1}P_n} \nonumber \\ 　 \end{eqnarray}

と書ける。ここで\(\Phi _n=\frac {K_{n+2}}{P_{n+2}}\)及び\(K_n=P_nR_n\)より\(\Phi _n=R_{n+2}\)となることが分かる。

前節の結果より

\begin{eqnarray} \Phi _n=\frac {a_1}{P_2P_3}-\frac {a_1a_2}{P_3P_4}+\frac {a_1a_2a_3}{P_4P_5}-\cdots +\frac {(-1)^n\prod ^n_{k=1}a_k}{P_{n-1}P_n} \nonumber \\ 　 \end{eqnarray}

が得られるが、この級数が収束することが\(\phi _1\)が存在する条件になる。 \(a_n>0,b_n>0\)などの条件が分かってれば、これは条件付き収束の条件 \(\frac {a_1\cdots a_n}{P_{n+1}P_{n+2}}\rightarrow 0\)が満たされればよい。

例1）　\(a_n=1,b_n=1\)の場合には\(P_n\)は単調増加数列（フィボナッチ数列）となるので収束する。

例2）　\(a_n=n,b_n=1\)なる場合には\(P_{n+2}=nP_n+P_{n+1}\)となり

\begin{eqnarray} \frac {a_1\cdots a_{n-1}}{P_nP_{n+1}}=\frac {(n-1)!}{P_nP_{n+1}}<\frac {1}{n} \ \ \ (n\geq 6) \end{eqnarray}

となり、収束する。この条件は帰納的に示すことが出来る。

応用

級数

\begin{eqnarray} S_n=\frac {A_1}{B_1}-\frac {A_2}{B_2}+\frac {A_3}{B_3}-\cdots +(-1)^{n+1}\frac {A_n}{B_n} \end{eqnarray}

が与えられた時に、これを連分数表示することを考えてみる。即ち

\begin{eqnarray} \frac {A_n}{B_n}=\frac {a_1\cdots a_n}{P_{n+1}P_{n+2}} \label {A/B} \end{eqnarray}

今\(a_1,\cdots ,a_{n-1}\)、\(b_1,\cdots ,b_{n-1}\)が求められていたとすると、

\begin{eqnarray} \frac {A_n}{B_n}=\frac {(a_1\cdots a_{n-1})a_n}{P_{n+1}(a_nP_n+b_nP_{n+1})} \end{eqnarray}

であるので、\(a_n\)は

\begin{eqnarray} a_n=\frac {A_nP_{n+1}^2}{(a_1\cdots a_{n-1})B_n-P_nP_{n+1}A_n}\cdot b_n \end{eqnarray}

で与えられる。ただしここでは\(n\geq 2\)の場合である。\(n=1\)の時は

\begin{eqnarray} a_1=\frac {A_1}{B_1}b_1 \end{eqnarray}

である。

例1）　\(B_n=1\)とすると、\(a_1=A_1b_1\)。さらに\(b_1=1,a_1=A_1\)とすると \(a_2=\frac {A_2}{A_1-A_2}b_2\)となる。さらに\(a_2=A_2,b_2=A_1-A_2\)とすると、 \(a_3=\frac {A_1A_3}{A_2-A_3}b_3\)。一般に\(n\geq 3\)で \(a_n=A_{n-2}A_n,b_n=b_{n-1}-b_n\)とすれば、

\begin{eqnarray} &&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!A_1-A_2+A_3-A_4+\cdots \nonumber \\ 　 &&\!\!\!\!\!\!\!=\cfrac {A_1}{1+\cfrac {A_2}{A_1-A_2+\cfrac {A_1A_3}{A_2-A_3+\cfrac {A_2A_4}{A_3-A_4+ \cfrac {A_3A_5}{\vdots }} }}} \nonumber \\ 　 \end{eqnarray}

例2）　逆に\(A_n=1\)の場合。\(a_1=\frac {1}{B_1}b_1\)。\(a_1=1,b_1=B_1\)とし、順次計算していけば \(a_2=B_1^2\)、\(b_2=B_2-B_1\)、\(a_3=B_2^2,b_3=B_3-B_2\)。帰納的に \(a_n=B_{n-1}^2,b_n=B_n-B_{n-1}\)となる。従って

\begin{eqnarray} &&\frac {1}{B_1}-\frac {1}{B_2}+\frac {1}{B_3}-\frac {1}{B_4}+\cdots \nonumber \\ 　 &&=\cfrac {1}{B_1+\cfrac {B_1^2}{B_2-B_1+\cfrac {B_2^2}{B_3-B_2+\cfrac {B_3^2}{\vdots } }}} \end{eqnarray}

が得られる。

以上の例を具体的に応用してみる。例えば

\begin{eqnarray} &&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\ln 2=1-\frac {1}{2}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+\cdots \nonumber \\ 　 &&=\cfrac {1}{1+\cfrac {1}{1+\cfrac {2^2}{1+\cfrac {3^2}{1+\cfrac {4^2}{1+\cfrac {5^2}{\vdots } }}}}} \end{eqnarray}

或いは

\begin{eqnarray} &&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\frac {\pi }{4}=1-\frac {1}{3}+\frac {1}{5}-\frac {1}{7}+\cdots \nonumber \\ 　 &&=\cfrac {1}{1+\cfrac {1}{2+\cfrac {3^2}{2+\cfrac {5^2}{2+\cfrac {7^2}{2+\cfrac {9^2}{\vdots } }}}}} \end{eqnarray}

数列\(a_n\)をもう少し便利な形で表示してみる。(26)より

\begin{eqnarray} \frac {\left (\frac {A_{n+1}}{B_{n+1}}\right )}{\left (\frac {A_n}{B_n}\right )} =\frac {P_{n+1}}{P_{n+3}}a_{n+1} \end{eqnarray}

従って

\begin{eqnarray} \frac {A_n}{B_n}-\frac {A_{n+1}}{B_{n+1}} &=&\frac {A_n}{B_n}\frac {P_{n+3}-a_{n+1}P_{n+1}}{P_{n+3}} \nonumber \\ 　 &=&\frac {A_n}{B_n}\frac {P_{n+2}}{P_{n+3}}b_{n+1} \end{eqnarray}

一方

\begin{eqnarray} P_{n+3}&=&\frac {\frac {A_n}{B_n}P_{n+2}b_{n+1}}{\frac {A_n}{B_n}-\frac {A_{n+1}}{B_{n+1}}} \nonumber \\ 　 &=&a_{n+1}P_{n+1}+b_{n+1}P_{n+2} \label {P-1} \end{eqnarray}

従って

\begin{eqnarray} a_{n+1}P_{n+1}=\frac {\frac {A_{n+1}}{B_{n+1}}b_{n+1}P_{n+2}}{\frac {A_n}{B_n} -\frac {A_{n+1}}{B_{n+1}}} \label {aP-1} \end{eqnarray}

ここで(37)に対して\(P_{n+2}\)を(36)を用いて、両辺から\(P_{n+1}\)を消去すれば（\(a_{n+1}\)を\(a_n\)で書き直せば）\(n\geq 3\)の時

\begin{eqnarray} a_n=\left (\frac {\frac {A_n}{B_n}}{\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}-\frac {A_n}{B_n}}\right ) \left (\frac {\frac {A_{n-2}}{B_{n-2}}}{\frac {A_{n-2}}{B_{n-2}}-\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}} \right )b_nb_{n-1} \end{eqnarray}

となる。\(n=1,2\)の時は

\begin{eqnarray} a_1=\frac {A_1}{B_1}b_1,\ \ a_2=\frac {\frac {A_2}{B_2}}{\frac {A_1}{B_1}-\frac {A_2}{B_2}} b_1b_2 \end{eqnarray}

で与えられる。

例1）　\(A_n=1,\ B_n=n!\)の場合には

\begin{eqnarray} a_n= =\frac {1}{n-2}b_nb_{n-1} \end{eqnarray}

従って\(b_n=n-1\)と置けば\(a_n=n-1\)となり、

\begin{eqnarray} 1-\frac {1}{e}&=&1-\frac {1}{2!}+\frac {1}{3!}-\frac {1}{4!}+\frac {1}{5!}-\cdots \nonumber \\ 　 &=&\cfrac {1}{1+\cfrac {1}{1+\cfrac {2}{2+\cfrac {3}{3+\cfrac {4}{4+\cfrac {5}{\vdots } }}}}} \end{eqnarray}

が得られる。

数列\(P_n\)の振る舞いについて考える。 \(P_{n+2}=a_nP_n+b_nP_{n+1}\)である。これを

\begin{eqnarray} P_{n+2}+\alpha _{n+1}P_{n+1}=\beta _n(P_{n+1}+\alpha _nP_n) \end{eqnarray}

の形に書くことを考える。これは\(\beta _n\)が全てもとまれば等比数列として計算することが出来る。実際に係数を比較すれば

\begin{eqnarray} \beta _n-\alpha _{n+1}=b_n,\ \ \ \beta _n\alpha _n=a_n \end{eqnarray}

これらより直ちに漸化式

\begin{eqnarray} \alpha _n=\frac {a_n}{b_n+\alpha _{n+1}} \end{eqnarray}

が得られる。これは\(\phi _n\)の満たす漸化式に等しい。従って\(\alpha _n=\phi _n\)であり、 \(\beta _n=\frac {a_n}{\alpha _n}\)である。従って\(P_n\)は

\begin{eqnarray} P_{n+2}+\phi _{n+1}P_{n+1}\!\!\!\!&=&\!\!\!\!\frac {a_n}{\phi _n}(P_{n+1}+\phi _n P_n) \nonumber \\ 　 &=&\!\!\!\!(b_n+\phi _{n+1})(P_{n+1}+\phi _nP_n) \nonumber \\ 　 &=&\prod _{k=1}^{n}(b_k+\phi _{k+1}) \end{eqnarray}

となる。ここで\(P_1\)は定義してないが、\(P_2=1,\ P_3=b_1\)を考慮して\(P_1=0\)と定義するとよい。これにより

\begin{eqnarray} P_{n+1}=-\phi _nP_n+\prod _{k=1}^{n-1}(b_k+\phi _{k+1}) \label {P-zenka} \end{eqnarray}

を得る。

数列\(K_n\)についても\(P_n\)と同様の漸化式を満たし、\(K_2=0,\ K_3=a_1\)に注意すれば\(K_1=1\) と定義することが出来る。\(P_n\)と同様にして

\begin{eqnarray} K_{n+1}=-\phi _nK_n+\phi _1\prod _{k=1}^{n-1}(b_k+\phi _{k+1}) \label {K-zenka} \end{eqnarray}

を得る。

これら漸化式を見比べてみると、(46)に\(K_n\)をかけて、(47)に\(P_n\) をかけて辺々引けば

\begin{eqnarray} P_{n+1}K_n-P_nK_{n+1}&=&(K_n-\phi _1P_n)\prod _{k=1}^{n-1}(b_k+\phi _{k+1}) \nonumber \\ 　 &=&(K_n-\phi _1P_n)\prod _{k=1}^{n-1}\frac {a_k}{\phi _k} \end{eqnarray}

となる。次に\(K_{n+1}-\phi _1P_{n+1}\)を計算すると

\begin{eqnarray} K_{n+1}-\phi _1P_{n+1}=-\phi _n(K_n-\phi _1P_n) \end{eqnarray}

従って

\begin{eqnarray} \frac {a_k}{\phi _k}=-\frac {K_k-\phi _1P_k}{K_{k+1}-\phi _1P_{k+1}}a_k \end{eqnarray}

従って

\begin{eqnarray} P_{n+1}K_n-P_nK_{n+1}&=&\frac {a_1}{\phi _1}(K_2-\phi _1P_2)(-1)^{n-2}\prod _{k=2}^{n-1}a_k \nonumber \\ 　 &=&(-1)^{n-1}\prod _{k=1}^{n-1}a_k \end{eqnarray}

となる¹¹

1. ¹

この結果はもっと簡単にも導くことが出来る。

。もし\(a_n=1\)である連分数の場合には、\(P_n\)と\(K_n\)は互いに素であることになる²²

2. ²

整数論の基本的な定理、整数\(a,b\)に対して、ある整数\(x,y\)が存在し

\begin{eqnarray} ax+by=1 \end{eqnarray}

を満たすならば\((a,b)=1\)である。

。従って有限連分数\(\Phi _n=\frac {K_{n+2}}{P_{n+2}}\)の分子と分母は互いに素である。

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