その他の数学
公式集2
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INTRODUCTION
このノートでは”公式集”ノートで展開した以下の級数の関係式をいくつか追加する目的で書きました。
公式集の続き
”公式集”ノートでいくつかの級数を次のように定義していた。
\begin{align} &\phi _1(s)=\frac {\sin x}{1^s}+\frac {\sin 2x}{2^s}+\frac {\sin 3x}{3^s}+\frac {\sin 4x}{4^s} +\cdots \\ &\phi _2(s)=\frac {\sin x}{1^s}-\frac {\sin 2x}{2^s}+\frac {\sin 3x}{3^s}-\frac {\sin 4x}{4^s} +\cdots \\ &\phi _3(s)=\frac {\sin x}{1^s}+\frac {\sin 3x}{3^s}+\frac {\sin 5x}{5^s}+\frac {\sin 7x}{7^s} +\cdots \\ &\phi _4(s)=\frac {\sin x}{1^s}-\frac {\sin 3x}{3^s}+\frac {\sin 5x}{5^s}-\frac {\sin 7x}{7^s} +\cdots \\ &\ \ \ and \nonumber \\ &\psi _1(s)=\frac {\cos x}{1^s}+\frac {\cos 2x}{2^s}+\frac {\cos 3x}{3^s}+\frac {\cos 4x}{4^s} +\cdots \\ &\psi _2(s)=\frac {\cos x}{1^s}-\frac {\cos 2x}{2^s}+\frac {\cos 3x}{3^s}-\frac {\cos 4x}{4^s} +\cdots \\ &\psi _3(s)=\frac {\cos x}{1^s}+\frac {\cos 3x}{3^s}+\frac {\cos 5x}{5^s}+\frac {\cos 7x}{7^s} +\cdots \\ &\psi _4(s)=\frac {\cos x}{1^s}-\frac {\cos 3x}{3^s}+\frac {\cos 5x}{5^s}-\frac {\cos 7x}{7^s} +\cdots \\ \end{align}
これらの級数の関数等式を以下のように級数の形で与えていた。
\begin{align} &\phi _1(1-s)=\Gamma (s)\sin \frac {\pi }{2}s\biggl ( \frac {1}{x^s}+\frac {1}{(2\pi +x)^s}-\frac {1}{(2\pi -x)^s}+\frac {1}{(4\pi +x)^s} -\frac {1}{(4\pi -x)^s}+\cdots \biggr ) \\ &\phi _2(1-s)=\Gamma (s)\sin \frac {\pi }{2}s\biggl ( \frac {1}{(\pi -x)^s}-\frac {1}{(\pi +x)^s}+\frac {1}{(3\pi -x)^s}-\frac {1}{(3\pi +x)^s} +\frac {1}{(5\pi -x)^s}-\frac {1}{(5\pi +x)^s}+\cdots \biggr ) \\ &\phi _3(1-s)=\frac {1}{2}\Gamma (s)\sin \frac {\pi }{2}s\biggl ( \frac {1}{x^s}-\frac {1}{(\pi +x)^s}+\frac {1}{(\pi -x)^s}+\frac {1}{(2\pi +x)^s} -\frac {1}{(2\pi -x)^s}+\cdots \biggr ) \\ &\phi _4(1-s)=\frac {1}{2}\Gamma (s)\cos \frac {\pi }{2}s\biggl ( \frac {1}{\left (\frac {\pi }{2}-x\right )^s}-\frac {1}{\left (\frac {\pi }{2}+x\right )} -\frac {1}{\left (\frac {3}{2}\pi -x\right )^s}+\frac {1}{\left (\frac {3}{2}\pi +x\right )^s} +\frac {1}{\left (\frac {5}{2}\pi -x\right )^s}-\frac {1}{\left (\frac {5}{2}\pi +x\right )^s} +\cdots \biggr ) \nonumber \\ &\ \ \ and \nonumber \\ &\psi _1(1-s)=\Gamma (s)\cos \frac {\pi }{2}s\biggl ( \frac {1}{x^s}+\frac {1}{(2\pi -x)^s}+\frac {1}{(2\pi +x)^s}+\frac {1}{(4\pi -x)^s} +\frac {1}{(4\pi +x)^s}+\cdots \biggr ) \\ &\psi _2(1-s)=-\Gamma (s)\cos \frac {\pi }{2}s\biggl ( \frac {1}{(\pi -x)^s}+\frac {1}{(\pi +x)^s}+\frac {1}{(3\pi -x)^s}+\frac {1}{(3\pi +x)^s} +\frac {1}{(5\pi -x)^s}+\frac {1}{(5\pi +x)^s}+\cdots \biggr ) \nonumber \\ \\ &\psi _3(1-s)=\frac {1}{2}\Gamma (s)\cos \frac {\pi }{2}s\biggl ( \frac {1}{x^s}-\frac {1}{(\pi +x)^s}-\frac {1}{(\pi -x)^s}+\frac {1}{(2\pi +x)^s} +\frac {1}{(2\pi -x)^s}+\cdots \biggr ) \\ &\psi _4(1-s)=\frac {1}{2}\Gamma (s)\sin \frac {\pi }{2}s\biggl ( \frac {1}{\left (\frac {\pi }{2}+x\right )^s}+\frac {1}{\left (\frac {\pi }{2}-x\right )^s} -\frac {1}{\left (\frac {3}{2}\pi +x\right )^s}-\frac {1}{\left (\frac {3}{2}\pi -x\right )^s} +\frac {1}{\left (\frac {5}{2}\pi +x\right )^s}+\frac {1}{\left (\frac {5}{2}\pi -x\right )^s} +\cdots \biggr ) \nonumber \\ \end{align}
同時にこれらの積分表示を以下のように与えていた。
\begin{align} &\phi _1(s)=\frac {1}{\Gamma (s)}\int ^\infty _0u^{s-1}\frac {\sin x}{e^u-2\cos x+e^{-u}}du \\ &\phi _2(s)=\frac {1}{\Gamma (s)}\int ^\infty _0u^{s-1}\frac {\sin x}{e^u+2\cos x+e^{-u}}du \\ &\phi _3(s)=\frac {1}{\Gamma (s)}\int ^\infty _0u^{s-1}\frac {\sin x(e^u+e^{-u})}{e^{2u}-2\cos 2x+e^{-2u}}du \\ &\phi _4(s)=\frac {1}{\Gamma (s)}\int ^\infty _0u^{s-1}\frac {\sin x(e^u-e^{-u})}{e^{2u}+2\cos 2x+e^{-2u}}du \\ &\ \ \ \ and \nonumber \\ &\psi _1(s)=\frac {1}{\Gamma (s)}\int ^\infty _0u^{s-1}\frac {\cos x-e^{-u}}{e^u-2\cos x+e^{-u}}du\\ &\psi _2(s)=\frac {1}{\Gamma (s)}\int ^\infty _0u^{s-1}\frac {\cos x+e^{-u}}{e^u+2\cos x+e^{-u}} du \\ &\psi _3(s)=\frac {1}{\Gamma (s)}\int ^\infty _0u^{s-1}\frac {\cos x(e^u-e^{-u})}{e^{2u}- 2\cos 2x+e^{-2u}}du \\ &\psi _4(s)=\frac {1}{\Gamma (s)}\int ^\infty _0u^{s-1}\frac {\cos x(e^u+e^{-u})}{e^{2u}+2 \cos 2x+e^{-2u}}du \end{align}
およびこれらの関数等式の積分表示は
\begin{align} &\phi _1(1-s)=\sin \frac {\pi }{2}s\int ^\infty _0u^{s-1}\frac {\sinh \{(\pi -x)u\}}{\sinh \pi u}du \label {a-1} \\ &\phi _2(1-s)=\sin \frac {\pi }{2}s\int ^\infty _0u^{s-1}\frac {\sinh xu}{\sinh \pi u}du \\ &\phi _3(1-s)=\frac {\sin \frac {\pi }{2}s}{2}\int ^\infty _0u^{s-1} \frac {\cosh \{(x-\frac {\pi }{2})u\}}{\cosh \frac {\pi }{2}u}du \\ &\phi _4(1-s)=\frac {\cos \frac {\pi }{2}s}{2}\int ^\infty _0u^{s-1} \frac {\sinh xu}{\cosh \frac {\pi }{2}u}du \\ &\ \ \ \ \ and \nonumber \\ &\psi _1(1-s)=\cos \frac {\pi }{2}s\int ^\infty _0u^{s-1} \frac {\cosh \{(x-\pi )u\}}{\sinh \pi u}du \\ &\psi _2(1-s)=-\cos \frac {\pi }{2}s\int ^\infty _0u^{s-1}\frac {\cosh xu}{\sinh \pi u}du \\ &\psi _3(1-s)=\frac {\cos \frac {\pi }{2}s}{2}\int ^\infty _0u^{s-1} \frac {\sinh \{(\frac {\pi }{2}-x)u\}}{\cosh \frac {\pi }{2}u}du \\ &\psi _4(1-s)=\frac {\sin \frac {\pi }{2}s}{2}\int ^\infty _0u^{s-1}\frac {\cosh xu}{\cosh \frac {\pi }{2}u}du \label {a-2} \end{align}
であった。 ここではこれらをさらに少しだけ発展した関係式を見出したので記しておく。
以下のように新たに級数を定義する。
\begin{align} \t {\psi }_1(s) &=\psi _1(s)\cos \frac {\pi }{2}s - \phi _1(s)\sin \frac {\pi }{2}s \nonumber \\ &= \frac {\cos \left (\frac {\pi }{2}s+x\right )}{1^s} +\frac {\cos \left (\frac {\pi }{2}s+2x\right )}{2^s} +\frac {\cos \left (\frac {\pi }{2}s+3x\right )}{3^s} +\frac {\cos \left (\frac {\pi }{2}s+4x\right )}{4^s}+\cdots \label {tphi_1}\\ \t {\psi }_2(s) &= \psi _2(s)\cos \frac {\pi }{2}s - \phi _2(s)\sin \frac {\pi }{2}s \nonumber \\ &= \frac {\cos \left (\frac {\pi }{2}s+x\right )}{1^s} -\frac {\cos \left (\frac {\pi }{2}s+2x\right )}{2^s} +\frac {\cos \left (\frac {\pi }{2}s+3x\right )}{3^s} -\frac {\cos \left (\frac {\pi }{2}s+4x\right )}{4^s}+\cdots \\ \t {\psi }_3(s) &= \psi _3(s)\cos \frac {\pi }{2}s - \phi _3(s)\sin \frac {\pi }{2}s \nonumber \\ &= \frac {\cos \left (\frac {\pi }{2}s+x\right )}{1^s} +\frac {\cos \left (\frac {\pi }{2}s+3x\right )}{3^s} +\frac {\cos \left (\frac {\pi }{2}s+5x\right )}{5^s} +\frac {\cos \left (\frac {\pi }{2}s+7x\right )}{7^s}+\cdots \\ \t {\phi }_4(s) &= \psi _4(s)\sin \frac {\pi }{2}s+\phi _4(s)\cos \frac {\pi }{2}s \nonumber \\ &= \frac {\sin \left (\frac {\pi }{2}s+x\right )}{1^s} -\frac {\sin \left (\frac {\pi }{2}s+3x\right )}{3^s} +\frac {\sin \left (\frac {\pi }{2}s+5x\right )}{5^s} -\frac {\sin \left (\frac {\pi }{2}s+7x\right )}{7^s}+\cdots \label {tphi_4} \end{align}
これらに関数等式をあてはめることで
\begin{align} \t {\psi }_1(1-s) &= 2\Gamma (s)\sin \frac {\pi }{2}s\cos \frac {\pi }{2}s \left (\frac {1}{(2\pi -x)^s}+\frac {1}{(4\pi -x)^s}+\frac {1}{(6\pi -x)^s}+\cdots \right ) \\ \t {\psi }_2(1-s) &= -2\Gamma (s)\sin \frac {\pi }{2}s\cos \frac {\pi }{2}s \left (\frac {1}{(\pi -x)^s}+\frac {1}{(3\pi -x)^s}+\frac {1}{(5\pi -x)^s}+\frac {1}{(7\pi -x)^s}\cdots \right ) \\ \t {\psi }_3(1-s) &= -\Gamma (s)\sin \frac {\pi }{2}s\cos \frac {\pi }{2}s \left (\frac {1}{(\pi -x)^s}-\frac {1}{(2\pi -x)^s}+\frac {1}{(3\pi -x)^s}-\cdots \right ) \\ \t {\phi }_4(1-s) &= \Gamma (s)\sin \frac {\pi }{2}s\cos \frac {\pi }{2}s \left (\frac {1}{(\frac {\pi }{2}-x)^s}-\frac {1}{(\frac {3}{2}\pi -x)^s}+\frac {1}{(\frac {5}{2}\pi -x)^s}-\cdots \right ) \end{align}
を得る。これらは\(x=0\)の時にはゼータ関数の関数等式と調和している。
積分表示は次のようになる。
\begin{align} \t {\psi }_1(s) &= \frac {1}{\Gamma (s)}\int ^\infty _0 u^{s-1} \frac {\cos \left (\frac {\pi }{2}s+x\right )-e^{-u}\cos \frac {\pi }{2}s}{e^u-2\cos x+e^{-u}}du \\ \t {\psi }_2(s) &= \frac {1}{\Gamma (s)}\int ^\infty _0 u^{s-1} \frac {\cos \left (\frac {\pi }{2}s+x\right )+e^{-u}\cos \frac {\pi }{2}s}{e^u+2\cos x + e^{-u}}du \\ \t {\psi }_3(s) &= \frac {1}{\Gamma (s)}\int ^\infty _0 u^{s-1} \frac {e^u \cos \left (\frac {\pi }{2}s+x\right )-e^{-u}\cos \left (\frac {\pi }{2}s-x\right )}{e^{2u}-2\cos 2x+e^{-2x}}du \\ \t {\phi }_4(s) &= \frac {1}{\Gamma (s)}\int ^\infty _0 u^{s-1} \frac {e^u \sin \left (\frac {\pi }{2}s+x\right )+e^{-u}\sin \left (\frac {\pi }{2}s-x\right )}{e^{2u}+2\cos 2x + e^{-2u}}du \end{align}
および積分表示の関数等式
\begin{align} \t {\psi }_1(1-s) &= 2\sin \frac {\pi }{2}s\cos \frac {\pi }{2}s\int ^\infty _0u^{s-1}\frac {e^{-(\pi -x)u}}{\sinh \pi u}du \\ \t {\psi }_2(1-s) &= -2\sin \frac {\pi }{2}s\cos \frac {\pi }{2}s\int ^\infty _0 u^{s-1}\frac {e^{xu}}{\sinh \pi u}du \\ \t {\psi }_3(1-s) &= -\sin \frac {\pi }{2}s\cos \frac {\pi }{2}s\int ^\infty _0 u^{s-1}\frac {e^{-(\frac {\pi }{2}-x)u}}{\cosh \frac {\pi }{2}u}du \\ \t {\phi }_4(1-s) &= \sin \frac {\pi }{2}s\cos \frac {\pi }{2}s\int ^\infty _0u^{s-1}\frac {e^{xu}}{\cosh \frac {\pi }{2}u}du \end{align}
を得る。
このサイトの管理人のTKGです。
いくつか昔頑張って作った自作のテキストPDFをサンプルとして投稿しています。
みなさんご自由にお気軽にノートを投稿してください！
ノートは結構昔に書いていて文章をやや硬くかいていますが、ちょっとテキストを意識しすぎていました。あしからずです。
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