クリフォード代数

このノートでは、場の量子論の学習をするうちに遭遇するスピノールやスピン群、ディラック作用素などを取り扱っています。
簡単にいうとフェルミオンに関する数学です。
基本的なクリフォード代数やスピン群およびその表現論の解説から始まり、最終的にディラック作用素まで解説を行っています。
それらの数学的な構造を理解する助けになるように難しい数学的な概念をあまり使わないで解説を行いました。

物理学で現れるスピノールとは空間の回転の自由度を量子力学的な対象である状態ベクトルへ拡張したようなものです。
空間の回転は広くは相対論的なローレンツ群になりますが、スピン群はこのローレンツ群に付随した群です。
理論をローレンツ変換する時、スピノールはそのローレンツ群に随伴したスピン群による変換を受けます。
スピン群とはおおざっぱにいうとそのような群であり、スピノールとはそのスピン群の作用する状態空間での表現といえます。
またディラック作用素とはそのスピン群に付随する微分作用素です。

クリフォード代数とはスピン群のリー代数という位置づけになると思います。
クリフォード代数を解析することはスピン群やスピノールを理解することそのものになります。
このノートのタイトルはそのためにクリフォード代数というタイトルになっています。
さまざまなタイプの多様体（Euclid計量、Minkovsky計量、偽リーマン多様体）の計量でのクリフォード代数を分類しました。
これノートを読むと$n$次元での（偽）リーマン多様体でのフェルミオンの表現というものを理解することができるようになります。
計量がEuclidタイプかMinkovskyタイプかで構造が違うことも理解できるようになります。
また物理学で必要となるさまざまな計算を行う際にも助けになるものとなります。

ご興味ありましたらご一読ください。

• クリフォード代数、スピン群
• クリフォード代数の表現
• スピン多様体
• ディラック作用素

など