量子力学におけるポアンカレの回帰定理

ノルム$1$の状態ベクトルだけに絞って考えて、エネルギースペクトルが離散的の時に状態空間は無限次元ユークリッド空間の単位球面と見なせる。
そこではリュービルの定理が成り立ち、状態空間の領域の体積が保存する。
エネルギースペクトルを有限で打ち切って考えると（カットオフを入れる）、状態空間の体積は次元に依存するが有限。
また状態空間を移動する速度が算出できるのでそれで状態空間の中を状態が移り変わって元の状態に近い状態に戻る時間を概算できる。
ここでの評価の仕方ではカットオフを入れるエネルギー順位を高くするほど回帰するまでの時間が増加してしまうので実用上は先に波動関数の近似が良いカットオフを先に決めて固定しておいて、それから評価をするのが良さそうであった。
ここではそれらの関係を導出して、回帰時間を簡易的に概算する方法を提案する。