幾何のお話2

このノートでは微分幾何学への導入となる、1次元や2次元の空間の幾何学、即ち曲線や曲面の幾何学を取り扱っています。
幾何のお話ノートの続編の立ち位置です。幾何のお話ノートでは微分形式の取り扱いが主なテーマでしたが、このノートでは微分幾何学の基本的な概念や性質を理解するための最初の導入として、曲線や曲面というイメージが湧きやすい対象を扱うことで入りやすくすることが目標です。
なので曲線や曲面の幾何学を理解することそのものも重要な目標ですが、それ以上に一般の$n$次元空間の微分幾何学や物理学の一般相対性理論へ学習を進めるための前段階の微分幾何学的な諸概念や諸性質の理解やイメージを掴むことがが一番の目標です。
たとえば接続や曲率といったものが微分幾何学では現れますが、これらの幾何学的なイメージは$2$次元の曲面の幾何学を学習することでしっかりと掴むことができます。また曲面の幾何学を展開することで自然とクリストッフェル記号などが現れ、計量と接続との関係をはじめ、さまざまな幾何学的な概念が自然に導入されるために深く理解することの助けになります。
さらにこのノートでは記述が煩雑にならないように数学記法を工夫しており、行列やベクトルの記法を使うことで何を計算しているかや、なぜそのような計算を行っているかを、線形代数や初等的な幾何の知識があれば容易に理解できるようになっています。
これから一般相対論や微分幾何学・多様体論などを学習しようとされている方にもおすすめします。
最後は$2$次元の曲面における基本的で有名な定理、ガウス-ボネの定理の証明までを行いました。
ぜひご一読ください。

トピック

• 平面と曲線の幾何
• 3次元空間の中の曲線の幾何学
• 曲率、微分幾何学
• ガウス-ボネの定理、境界のある曲面のガウス-ボネの定理