運動方程式
質量 \(m\)、ばね定数 \(k\)、抵抗係数 \(c\) とすると、運動方程式は\begin{align*} m\ddot {x}+c\dot {x}+kx=0 \end{align*}
です。ここで
\begin{align*} \gamma =\frac {c}{2m},\qquad \omega _0=\sqrt {\frac {k}{m}} \end{align*}
とおくと、
\begin{align} \ddot {x}+2\gamma \dot {x}+\omega _0^2x=0 \label {eq:motion} \end{align}
となります。 \(x=e^{\lambda t}\) を代入すると
\begin{align*} \lambda ^2+2\gamma \lambda +\omega _0^2=0 \end{align*}
なので、
\begin{align} \lambda =-\gamma \pm \sqrt {\gamma ^2-\omega _0^2} \label {eq:root} \end{align}
を得ます。平方根の中の符号で場合分けします。
\(\gamma >\omega _0\)
\begin{align*} \alpha =\sqrt {\gamma ^2-\omega _0^2} \end{align*}
とおけば、式(2)は
\begin{align*} \lambda =-\gamma \pm \alpha \end{align*}
となります。したがって
\begin{align} x(t)=A e^{(-\gamma +\alpha )t} +B e^{(-\gamma -\alpha )t} \label {eq:over} \end{align}
です。 \(\alpha <\gamma \) なので2つの指数はどちらも負になり、振動せずに減衰します。
\(\gamma =\omega _0\)
この場合は\begin{align*} (\lambda +\gamma )^2=0 \end{align*}
となり、\(\lambda =-\gamma \) が重解になります。 重解のときにもう1つの解が \(t e^{-\gamma t}\) になることを、 式(3)から確かめます。定数を取り直すと
\begin{align*} x(t)=e^{-\gamma t} \left ( C\cosh \alpha t +D\frac {\sinh \alpha t}{\alpha } \right ) \end{align*}
と書けます。ここで
\begin{align*} \lim _{\alpha \to 0}\cosh \alpha t&=1,\\ \lim _{\alpha \to 0}\frac {\sinh \alpha t}{\alpha }&=t \end{align*}
より、
\begin{align*} x(t)=(C+Dt)e^{-\gamma t} \end{align*}
となります。 実際、\(x=t e^{-\gamma t}\) とすると
\begin{align*} \dot {x}&=(1-\gamma t)e^{-\gamma t},\\ \ddot {x}&=(-2\gamma +\gamma ^2t)e^{-\gamma t} \end{align*}
なので、\(\omega _0=\gamma \) として式(1)に代入すれば
\begin{align*} \ddot {x}+2\gamma \dot {x}+\gamma ^2x &= \left \{ (-2\gamma +\gamma ^2t) +2\gamma (1-\gamma t) +\gamma ^2t \right \}e^{-\gamma t}\\ &=0 \end{align*}
となります。
\(\gamma <\omega _0\)
\begin{align*} \Omega =\sqrt {\omega _0^2-\gamma ^2} \end{align*}
とおくと、
\begin{align*} \lambda =-\gamma \pm i\Omega \end{align*}
です。実数の範囲で一般解を書くと
\begin{align*} x(t)=e^{-\gamma t} \left (A\cos \Omega t+B\sin \Omega t\right ) \end{align*}
となります。 たとえば \(x(0)=x_0,\ \dot {x}(0)=v_0\) とすると
\begin{align*} A&=x_0,\\ B&=\frac {v_0+\gamma x_0}{\Omega } \end{align*}
なので、
\begin{align*} x(t)=e^{-\gamma t} \left ( x_0\cos \Omega t +\frac {v_0+\gamma x_0}{\Omega }\sin \Omega t \right ) \end{align*}
です。
まとめ
以上より、\begin{align*} \gamma >\omega _0 &:\quad A e^{(-\gamma +\alpha )t}+B e^{(-\gamma -\alpha )t},\\ \gamma =\omega _0 &:\quad (C+Dt)e^{-\gamma t},\\ \gamma <\omega _0 &:\quad e^{-\gamma t}(A\cos \Omega t+B\sin \Omega t) \end{align*}
となりました。 特性方程式の判別式が正なら指数関数が2つ、0なら重解、負なら振動する解になります。 特に臨界減衰の \(t e^{-\gamma t}\) は、過減衰の解で \(\alpha \to 0\) とすると自然に出てきます。