減衰振動の3つの解と重解に現れるt

このノートで計算すること

減衰のあるばねの運動

を特性方程式で解きます。同じ運動方程式でも、$\gamma$ と $\omega_0$ の大小によって、一般解の形は次の3通りに変わります。

• $\gamma>\omega_0$：二つの指数関数
• $\gamma=\omega_0$：$(C+Dt)e^{-\gamma t}$
• $\gamma<\omega_0$：振幅を減らしながら振動する三角関数

重解で $t$ が付くところ

真ん中の場合だけ、解に $t e^{-\gamma t}$ が現れます。公式として置くのではなく、$\gamma>\omega_0$ の二つの実数解を組み替え、$\alpha\to0$ の極限を取ることでこの項を出しました。

最後に $t e^{-\gamma t}$ を運動方程式へ戻し、実際に解になっていることも確認します。