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はじめに
前回、加法定理から2倍角と半角までやりました。その続きで参考書を読み進めています。 次に出てきたのが、和積の公式と積和の公式でした。 4つずつあって、どれも似た形で、符号だけが違います。 最初に見たときは、これは覚えられないと思いました。 ただ、前回2倍角と半角が加法定理から出てきたので、 これも同じように出せるのではないかと思って、やってみました。 その前に、\(\tan \) の加法定理
前回は \(\sin \) と \(\cos \) の加法定理だけ書いて、\(\tan \) を書いていませんでした。 参考書には同じページに載っていたのに飛ばしていたので、先にやっておきます。 \(\tan \) は \(\sin \) を \(\cos \) で割ったものなので、 \begin{align} \tan (\alpha + \beta ) &= \frac {\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )} \\ &= \frac {\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta } {\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta } \quad (\text {加法定理より}) \end{align}
です。 これだとまだ \(\tan \) の式になっていません。 \(\tan \) にするには \(\sin \) を \(\cos \) で割った形がほしいので、 分母と分子を \(\cos \alpha \cos \beta \) で割ってみました。
\begin{align} \tan (\alpha + \beta ) &= \frac {\dfrac {\sin \alpha }{\cos \alpha } + \dfrac {\sin \beta }{\cos \beta }} {1 - \dfrac {\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot \dfrac {\sin \beta }{\cos \beta }} \\ &= \frac {\tan \alpha + \tan \beta }{1 - \tan \alpha \tan \beta } \end{align}
参考書に載っているものと同じ形になりました。 分母に引き算が出てくるのが変だと思っていたのですが、 \(\cos (\alpha +\beta )\) のほうの引き算が、割ったあともそのまま残っているだけでした。 \(15^\circ \) でも試してみます。
\begin{align} \tan 15^\circ &= \tan (45^\circ - 30^\circ ) \\ &= \frac {\tan 45^\circ - \tan 30^\circ }{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ } \\ &= \frac {1 - \frac {1}{\sqrt {3}}}{1 + \frac {1}{\sqrt {3}}} \\ &= \frac {\sqrt {3} - 1}{\sqrt {3} + 1} \\ &= 2 - \sqrt {3} \end{align}
電卓で確かめると \(2 - \sqrt {3} = 0.26794\cdots \)、 \(\tan 15^\circ = 0.26794\cdots \) で合っていました。 前回出した \(\sin 15^\circ \) と \(\cos 15^\circ \) を割っても同じ値になります。
積和の公式を作りました
\(\sin \) の加法定理を2つ並べます。 \begin{align} \sin (\alpha + \beta ) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \sin (\alpha - \beta ) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{align}
この2つを足すと、右辺の後ろが消えます。
\begin{align} \sin (\alpha +\beta ) + \sin (\alpha -\beta ) &= 2\sin \alpha \cos \beta \end{align}
なので
\begin{align} \sin \alpha \cos \beta &= \frac {1}{2}\{\sin (\alpha +\beta ) + \sin (\alpha -\beta )\} \end{align}
です。引くほうもやると
\begin{align} \cos \alpha \sin \beta &= \frac {1}{2}\{\sin (\alpha +\beta ) - \sin (\alpha -\beta )\} \end{align}
になりました。 \(\cos \) のほうも同じようにします。
\begin{align} \cos (\alpha + \beta ) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha - \beta ) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{align}
足すと
\begin{align} \cos \alpha \cos \beta &= \frac {1}{2}\{\cos (\alpha +\beta ) + \cos (\alpha -\beta )\} \end{align}
です。引くほうは、今度は下の式から上の式を引きます。
\begin{align} \sin \alpha \sin \beta &= \frac {1}{2}\{\cos (\alpha -\beta ) - \cos (\alpha +\beta )\} \end{align}
となりました。 これだけ引く順番が逆です。 \(\sin \alpha \sin \beta \) に \(-\) が付いているからなのですが、 書いている途中で何回か間違えました。
電卓で確かめました
\(\alpha = 45^\circ \)、\(\beta = 30^\circ \) を (13) に入れて確かめました。
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値 |
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\(\sin 45^\circ \cos 30^\circ \) |
\(0.61237\cdots \) |
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\(\frac {1}{2}(\sin 75^\circ + \sin 15^\circ )\) |
\(0.61237\cdots \) |
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合っていました。 前回出した \(\sin 15^\circ \) と \(\sin 75^\circ \) がここで出てくるとは思っていませんでした。
和積の公式
積和は、積の形を和の形にする式でした。 逆に、和の形を積の形にするのが和積らしいです。 さっき作った \begin{align} \sin (\alpha +\beta ) + \sin (\alpha -\beta ) &= 2\sin \alpha \cos \beta \end{align}
の左辺が、もう和の形になっています。 そこで \(\alpha +\beta \) と \(\alpha -\beta \) に名前を付けます。
\begin{align} A = \alpha + \beta , \qquad B = \alpha - \beta \end{align}
とおくと、足して2で割れば \(\alpha \)、引いて2で割れば \(\beta \) が出ます。
\begin{align} \alpha = \frac {A+B}{2}, \qquad \beta = \frac {A-B}{2} \end{align}
これを入れると
\begin{align} \sin A + \sin B &= 2\sin \frac {A+B}{2}\cos \frac {A-B}{2} \end{align}
になりました。同じやり方で残りもやると
\begin{align} \sin A - \sin B &= 2\cos \frac {A+B}{2}\sin \frac {A-B}{2} \\ \cos A + \cos B &= 2\cos \frac {A+B}{2}\cos \frac {A-B}{2} \\ \cos A - \cos B &= -2\sin \frac {A+B}{2}\sin \frac {A-B}{2} \end{align}
です。 最後だけ \(-\) が付きます。 これも、さっき引く順番が逆だったところから来ています。 \(A = 75^\circ \)、\(B = 15^\circ \) で確かめました。
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値 |
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\(\sin 75^\circ + \sin 15^\circ \) |
\(1.22474\cdots \) |
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\(2\sin 45^\circ \cos 30^\circ \) |
\(1.22474\cdots \) |
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名前と符号が覚えられません
ここまで全部自分で作れたのに、参考書の問題をやると毎回止まります。 止まるのは次の3つです。
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「和積」と「積和」のどちらがどちらか分からなくなる
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\(\cos A - \cos B\) の \(-\) を忘れる
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\(\sin \alpha \sin \beta \) の引く順番を逆にする
名前のほうは、和積は和を積にする、積和は積を和にする、と読めばいいと気づきました。 そう書いてあるとおりでした。 符号のほうは、毎回作り直せば出るのですが、 問題を解いている途中で作り直すと、元の問題が何だったか分からなくなります。 なので、ここは覚えることにしました。 自分で作れる式を覚えるというのは変な感じがしますが、 今のところそうしています。
合成もやってみました
参考書の次のページに、合成というのがありました。 \begin{align} a\sin \theta + b\cos \theta = r\sin (\theta + \alpha ) \end{align}
の形にする、と書いてあります。 これも加法定理を逆に見ればよさそうだと思って、右辺を開いてみました。
\begin{align} r\sin (\theta +\alpha ) &= r\sin \theta \cos \alpha + r\cos \theta \sin \alpha \quad (\text {加法定理より}) \end{align}
左辺と見比べると
\begin{align} a = r\cos \alpha , \qquad b = r\sin \alpha \end{align}
であればよいことになります。2乗して足すと
\begin{align} a^2 + b^2 &= r^2(\cos ^2\alpha + \sin ^2\alpha ) \\ &= r^2 \end{align}
なので
\begin{align} r = \sqrt {a^2 + b^2} \end{align}
です。 実際にやってみます。\(\sin \theta + \sqrt {3}\cos \theta \) だと
\begin{align} r = \sqrt {1 + 3} = 2 \end{align}
で、
\begin{align} \cos \alpha = \frac {1}{2}, \qquad \sin \alpha = \frac {\sqrt {3}}{2} \end{align}
なので \(\alpha = 60^\circ \) です。つまり
\begin{align} \sin \theta + \sqrt {3}\cos \theta = 2\sin (\theta + 60^\circ ) \end{align}
となりました。 \(\theta = 30^\circ \) を入れて確かめると、左辺は
\begin{align} \sin 30^\circ + \sqrt {3}\cos 30^\circ &= \frac {1}{2} + \sqrt {3}\cdot \frac {\sqrt {3}}{2} \\ &= \frac {1}{2} + \frac {3}{2} \\ &= 2 \end{align}
で、右辺は \(2\sin 90^\circ = 2\) です。合っていました。 足し算だったものが \(\sin \) ひとつになるのが、まだ少し変な感じがします。
分からなかったこと
\(\alpha \) がいつでもあるのか
合成のところで、\(\cos \alpha = \dfrac {a}{r}\)、\(\sin \alpha = \dfrac {b}{r}\) になる \(\alpha \) を 持ってくる、と書いてありました。 例のときは \(60^\circ \) ですぐ見つかったのですが、 \(a\) と \(b\) は問題ごとに変わるので、そんな都合のいい \(\alpha \) が いつでもあるのかが分かりませんでした。 たとえば \(a = 2\)、\(b = 3\) でやってみると \(r = \sqrt {13}\) で、 \begin{align} \cos \alpha = \frac {2}{\sqrt {13}}, \qquad \sin \alpha = \frac {3}{\sqrt {13}} \end{align}
になります。電卓で角度を出すと \(56.3^\circ \) くらいでしたが、 これは知っている角ではありません。 角としては存在すると思うのですが、値がきれいに出ないので、 それで合成したことになるのかが分かりませんでした。
加法定理の証明
前回書いた、加法定理そのものの証明はまだ読めていません。 2学期に授業でやると思うので、そのときにします。 おわりに
公式が増えていくのが嫌だったのですが、今のところ全部加法定理から出ています。 前回の2倍角と半角も、今回の積和と和積と合成も、やっていることは 足したり引いたり置きかえたりだけでした。 それなのに問題では符号を間違えるので、そこが不思議です。 自分用のまとめですが、置いておきます。 間違っているところがあれば教えてください。