場の量子論の周辺の話2

このノートでは場の量子論ノートでは扱わなかった内容であり、場の量子論の周辺の話ノートの続編となる内容となる。
第1章と第2章は相対論的量子力学と非相対論的な量子力学との関係について扱った。
相対論的な量子力学では基礎方程式がスカラー場であればクライン-ゴルトン方程式、Dirac場であればDirac方程式となるが、それらから非相対論的な極限においてシュレディンガー方程式が導かれることを見る。これらは、そして特に後者については、多くの相対論的量子力学で扱われる内容ではあるが、本ノートにおいてもあえて取り上げた。場の量子論と相対論的量子力学との関係や場の量子論の枠組みから量子力学の基本的な枠組みがいかに導出できるかを場の量子論の周辺の話ノートで見た。このノートで相対論的な量子力学の基礎方程式と量子力学の基礎方程式との繋がりを見ることで、これらの関係を完全なものにしたいと思う。
第2章ではシュレディンガー方程式の導出の副産物としてDirac場の非相対論的な極限をとるとDirac場が空間3次元の回転のスピン群への持ち上げである$SU(2)$の表現であることが示される。
第3章は場の量子論の周辺の話の中でDirac場の1の分割を汎関数積分を用いて表した流れを受けて、スカラー場の場合にも同様に1の分割が汎関数積分を用いても表すことができることを示した。

目次

1. 非相対論的な極限でクライン-ゴルトン方程式からシュレディンガー方程式を導出する
2. 非相対論的な極限でDirac方程式からシュレディンガー方程式を導出する
3. スカラー場の1の分解について