トポロジー2

このノートでは前回のトポロジーノートからさらに少し発展した内容になります。単体的複体・ホモロジー、ド・ラームの定理、そしてホモトピー群や被覆空間、ファイバー空間などのトピックになります。
このノートの内容は物理学をやる上では必ずしも必要な内容ではないですが、これらのトピックから得られるトポロジーの知識のいくつかは、物理学の本では天下り的に与えられるだけだったりします。
このノートではそれらをきちんと扱って導出することで理解を深めることを目的としています。

序盤では単体的複体やホモロジー、またそれらを用いてド・ラームの定理についての補足的な説明を付け加えるような内容になっています。 このnoteを持ってド・ラームの定理は完結します。

微分形式を主に扱ううちはド・ラームコホモロジー群が主役ですが、位相幾何学の理解のために単体的複体の理解があった方が良いように思います。
なのでこのノートでは最初に単体的複体の解説からはじめています。
その上でド・ラームの定理を再考することで、チェック複体と単体的コチェイン複体の同一視がを通して、ド・ラームコホモロジー群と単体的コホモロジー群との同型を理解できます。
この理解によりド・ラームコホモロジー群からオイラー数という空間のトポロジーに関した量との関係が得られることを自然に理解することの助けとなります。

次にホモトピー論について基本的な部分だけ取り上げました。 基本的な基本群やホモトピー群の計算なんかもしてます。 一応$SU(n)$や超球面のホモトピー群の比較的簡単に計算出来るものについて解説しました。 他のNoteとの関連は少ないので後回しにしても大丈夫です。

このノートは位相幾何学のトピックのうちの基本的なもののうちいくつかを取り上げて簡潔に解説しました。
少し難易度は高いですが、単体的複体やホモトピー群について理解したい学習者、それらの学習にあまり時間をかけたくない学習者にはとても良い教材となっているのではないでしょうか。
ぜひご一読ください。

• 単体的ホモロジー
• ホモトピー、ホモトピー群
• ホモトピー完全系列
• 被覆空間

など