熱伝導方程式からエントロピー増大則を導く

このノートの概要

このノートは、「熱伝導方程式と熱力学の基本的な物理法則から、エントロピー増大則のようなマクロな法則を導けるか？」という問いに、自分なりに考察してみたものをノートにしたものです。内容としては、熱伝導方程式とエネルギー保存則、そしてエントロピーと温度の関係式を出発点にして、エントロピーの時間変化を具体的に計算しています。

まず導入するのは、1次元系における熱伝導方程式：

$C_v\frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$

ここに熱エネルギーの変化とエントロピーの定義を組み合わせることで、エントロピーの時間変化を温度場の変化に書き換えることができるというところが出発点です。

特に面白いのは、微分形式を使ってこの変化を表現し直すところです。議論の中で1-formの$J=\frac{1}{T}dT$といった温度の流れの場を導入します。最終的に議論を展開してエントロピーの時間発展の式は次のような形に帰着します：

$\frac{dS}{dt}=\lambda \int_D \frac{1}{T^2} dT\wedge * dT \geq 0$

この式は、閉じた系においてエントロピーが決して減少しないという、まさに熱力学第二法則そのものの主張を定式化したものです。

また、積分の分解で現れる境界項が「閉じた系では0になる」という議論も含めて、マクロな不可逆性がミクロな局所的変化の積分として現れることを、自分なりに納得できる形で導けたのがこのノートの一番の収穫でした。

"微分形式の手法で熱力学を再構成できるのでは？"という問いに対して、ひとつの例を示せたと思っています。物理と幾何の接点を感じたい人にはぜひ読んでみてほしい内容です。

2ページほどの小作品になっています。