場の量子論の周辺の話

今回は経路積分の導出などの場の量子論の周辺の話を書いてみました。場の量子論と相対論的量子力学との関係や場の量子論での経路積分の導出などを取り扱いました。

主題は主につぎのとおりです。

1. 場の量子論を自然単位系を使わないで表す
2. 場の量子論のノーテーションについて
3. 場の量子論から相対論的量子力学を導出する
4. ボソンの場の多粒子状態について
5. 場の量子論の経路積分の導出

順番に簡単に解説します。

場の量子論を自然単位系を使わないで表す

多くの場の量子論ノートでは自然単位系とよばれる$\hbar=c=1$を採用しています。これはおそらく一般的なものですが、ときどき自然単位系を選ばない方がいい時があります。$\hbar$や$c$があったほうがいいときなどです。
場の量子論に精通している人にはおそらく不要な内容なのですが、不慣れな学習者に自然単位系を使わない場合にはどうなるのかを簡単に置き換えが自分でできるようになるための助けになるのかもと思って簡単に書いてみました。

場の量子論のノーテーションについて

場の量子論のテキストによってノーテーションが微妙な違いがあります。
場の量子論ノートで採用しているノーテーションはローレンツ不変なものを採用していますが、
Peskinをはじめ他の場の量子論の本では違うノーテーションをよく見かけます。
好みの問題ではありますが、見た目が少し違ってくるために混乱する読者がいるかもしれないと思い、少しだけその辺の橋渡しになるような内容を書いてみました。

場の量子論から相対論的量子力学を導出する

この辺からこのノートの本題です。場の量子論と相対論的量子力学、あるいは非相対論的な量子力学。いずれも量子力学ですが少し乖離があります。この章ではその橋渡しをするための内容を書きました。
具体的には場の量子論では場は演算子ですが、一方で相対論的量子力学では場は古典場です。
このノートでは場の量子論から量子力学のフレームワークを導出して自然に場の量子論と量子力学との関係が見えるようにしました。
場の量子論の枠組みからいかに相対論的量子力学における古典場が導出されるのかを解説しました。
それ以外にも量子力学では位置の固有状態などがありますが、場の量子論の枠組みから位置の固有状態を導出するなどしました。
これによって場の量子論の枠組みで波動関数などを記述することができるようになります。

ボソンの場の多粒子状態について

これは光子などのボソン粒子の古典的な描像と場の量子論での描像との関係について簡単に書きました。
量子力学で扱う光の粒子性と古典力学で扱う光の波動性との関係がこれによって少し見て取れるようになるかもしれません。

場の量子論の経路積分の導出

最後に場の量子論での経路積分の導出を行いました。場の量子論ノートでは量子力学からのアナロジーで天下り的に経路積分を与えました。
理論としては経路積分法と演算子法が同等であることをノートを通して示していますが、このノートで直接演算子法から経路積分を導出しました。
対象は実スカラー場、複素スカラー場、Dirac場のそれぞれについて経路積分の導出を行いました。