解析の話発展編

ガンマ関数とかゼータ関数の解析接続とかちょぴっとトピックをノートにしました。

この『解析の話 発展編』ノートは、ちょっと数学に詳しくなってきた人が「その先」を知りたくなったときにぴったりのノートだと思います。

ガンマ関数やベータ関数の定義から始まり、ゼータ関数、特殊関数、ベキ級数の拡張まで、大学レベル以上の解析学トピックを、数式を通じてじっくり展開しています。

特に、解析接続や無限積表示、関数等式の背後にあるアイデアを丁寧に解説しました。ゼータ関数とガンマ関数を結ぶ美しい関係や、ベルヌーイ数・オイラー数を"関数として"拡張するアイディアなど、知的好奇心をくすぐるトピックを取り上げました。

また、級数の係数を関数的に扱う話や、特殊関数（正弦・余弦の積分表示など）との関連も盛り込んでいて、全体的に"解析的な視点で関数を捉え直す"ことを意識しています。

このノートでは次のような関数の解析接続や関数等式を扱っています。

ガンマ関数

$\Gamma(s)=\int^\infty_0 x^{s-1}e^{-x}dx$

ゼータ関数とその仲間

$\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots$

$\xi(s)=1-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}-\frac{1}{4^s}+\cdots$

$\eta(s)=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\cdots$

$\mu(s)=1-\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}-\frac{1}{7^s}+\cdots$

その他の関数

$\phi(s)=\int^\infty_0x^{s-1}\sin x dx$

$\psi(s)=\int^\infty_0 x^{s-1}\cos x dx$