解析の話発展編

このノートでは実解析のお話ノートや複素解析のお話ノートで取り扱った基本的な解析学のトピックから少し発展した解析学のトピックを取り扱っています。
おもにガンマ関数、ベータ関数、ゼータ関数、それからそれらの関数に類似のさまざまな特殊関数の諸性質を解析しています。
おもにそれらの関数の無限積表示、零点、特異点の解析、積分表示を求めています。
またそれらの関数の解析接続を行ったり関数等式を求めたりしています。
ゼータ関数の関数等式は有名ですが、それに類似な特殊関数やその他の特殊関数の関数等式なども導出しています。
ここで求めた諸性質は物理学でもさまざまなシーンで登場します。
特にゼータ関数は最も物理学で登場する頻度が高く、統計力学でのボソン粒子の分配関数の計算やカシミール効果の計算などが有名です。
他に弦理論の中心電荷の計算でも現れることは有名です。
またガンマ関数の諸性質も場の量子論の摂動論の計算を行う際にはほとんど必須になります。
それらの計算で必要なこれら関数の諸性質をさっと学習するのにこのテキストはとても向いています。
やはりそれらの学習に多くの時間を割いていられられない学習者には最適です。
ぜひご一読ください。

ガンマ関数

$\Gamma(s)=\int^\infty_0 x^{s-1}e^{-x}dx$

ゼータ関数とその仲間

$\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots$

$\xi(s)=1-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}-\frac{1}{4^s}+\cdots$

$\eta(s)=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\cdots$

$\mu(s)=1-\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}-\frac{1}{7^s}+\cdots$

その他の関数

$\phi(s)=\int^\infty_0x^{s-1}\sin x dx$

$\psi(s)=\int^\infty_0 x^{s-1}\cos x dx$