場の量子論

このノートは主に素粒子物理学の基礎となっている場の量子論を解説しています。もう少し詳しくいうと粒子の生成や消滅を扱うことのできる相対論的な量子力学です。

ノートではまず最初に場の古典論の復習を少しだけ触れています。それから場の量子論の話に移行する流れで書いています。
このノートを読みこなすには微分積分はもちろん、複素解析に関する知識ややゲージ理論あたりの知識が必要になります。
また物理学の知識に関しては、解析力学、電磁気学、量子力学などは理解していると理解がしやすいと思います。

現象論的な事象にはあまり触れていませんが、場の量子論の数学的な基礎付けから出発して一般的な場の量子論の教科書で扱うような基本的な場の量子論のトピックはほとんど説明ができたと思います。

最初にスカラー場の理論に触れることで場の量子論に慣れることを目的としています。
とはいえ、スカラー場の理論は学習のための簡単なモデルというだけでなく実用性のある重要な理論なのでじっくり学習することをおすすめします。

最初にスカラー場の理論を通してS行列や相互作用の計算などの基本的な事項の解説を行っています。
そして$\phi^4$の相互作用の摂動論の具体的な計算と繰り込みと繰り込み群方程式の導出を行います。
さらに場の量子論においてのネーターの定理やWard-高橋の関係式、自発的対称性の破れ、ゴールドストーンの定理など、場の量子論でとても重要なトピックについてそれらの理論的な理解が総括的にできるようにきちんと解説をしました。

次にDiracフェルミオンを導入してDirac場の基本的な諸性質や取り扱いを解説しました。
続いてQED（量子電磁力学）と非可換ゲージ理論に進みます。ここでも基本的トピックにはある程度触れることができていると思います。
汎関数積分（経路積分）での量子化やBRST対称性について解説しています。
ここでゴーストが現れることやそれらが理論のユニタリティとどう関係があるのかが理解できるようになっています。
いづれも摂動論の計算を行っていますがこのノートでは1ループまでにとどめています。
ここまで計算を追いながら読み進めれくれば、場の量子論での摂動論の計算や繰り込み群方程式の導出などが自分でも行えるようになっていると思います。
さらに学習者は2ループや3ループの計算やもっと難しい理論での摂動論の計算へ進んでもいいかもしれません。

摂動論の計算の後にはアノマリーについて触れています。
アノマリーは少し数学の幾何学との関連があるトピックです。
アノマリーの計算はディラック作用素の指数の計算と関連があります。
物理では厳密なディラック指数の計算や照明には踏み込みませんが、それでも素粒子物理学の面白いトピックのひとつになっています。
またゲージアノマリーは場の量子論の繰り込み可能性に関連しているトピックなので重要性もあり、必ず理解しておきたいトピックのひとつなのでこのノートでも取り上げました。

最後は素粒子物理学の標準モデル（スタンダードモデル）と呼ばれる、クオークやレプトンの世代やHiggs場、電弱相互作用、量子色力学などのトピックについて概観をします。

このノートは素粒子物理学で使われる場の量子論を、特に摂動論の計算に主眼を置いて最短コースで学習されたい方、学習に時間をできるだけ割きたくない方に特に向いています。
ご興味ありましたら、ご一読ください。