問題
\[ I=\int _0^1 x\sqrt {1-x^2}\,dx \]
を計算します。 計算
\(t = 1 - x^2\) とおくと\begin{align} dt &= -2x\,dx, \\ x\,dx &= -\frac {1}{2}\,dt. \end{align}
また、端点も \(t\) で書き直すと
\begin{align} x = 0 &\Rightarrow t = 1, \\ x = 1 &\Rightarrow t = 0 \end{align}
なので、
\begin{align} I &= \int _1^0 \sqrt {t}\left (-\frac {1}{2}\right )\,dt \\ &= \frac {1}{2}\int _0^1 t^{1/2}\,dt \\ &= \frac {1}{2}\left [\frac {2}{3}t^{3/2}\right ]_0^1 \\ &= \frac {1}{3}. \end{align}
符号の確認
一回目は、\(x\,dx=-\frac 12dt\) のマイナスと、積分区間を \(1\) から \(0\) にしたことを別々に処理できていませんでした。 今回は\[ -\frac 12\int _1^0 t^{1/2}\,dt =\frac 12\int _0^1 t^{1/2}\,dt \]
の一行を省略しないようにしました。 \(x=\sin \theta \) とおく計算でも \(\frac 13\) になりましたが、 この問題では \(1-x^2\) をそのまま置いたほうが短かったです。