微分の演習から一問です。 \(f'(x)=0\) になる点だけを調べて終わりにしていたのですが、 閉区間では端点での値も必要でした。
問題
\[ f(x) = x^3 - 3x^2 - 1, \qquad [-1,\, 3] \]
について、最大値と最小値を求めます。
計算
\begin{align} f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2) \end{align}
なので、\(f'(x)=0\) は \(x=0,\, 2\) です。どちらも区間に入ります。
停留点だけでなく、端点 \(x=-1,3\) も含めて値を並べます。
\begin{align} f(0) &= -1, \\ f(2) &= 8 - 12 - 1 = -5, \\ f(-1) &= -5, \\ f(3) &= -1. \end{align}
したがって、最大値は \(-1\)（\(x=0,3\)）、 最小値は \(-5\)（\(x=-1,2\)）です。
やり直したところ
最初は \(f(0)\) と \(f(2)\) しか計算していませんでした。 この問題では最大値と最小値の数だけは偶然同じになりますが、 それを取る \(x\) を二つずつ落としてしまいます。
閉区間の問題では、\(f'(x)=0\) の解を書いたあとに 端点も同じ列に並べてから値を比べることにします。