問題
次の連立方程式を解きます。\begin{align} \begin {cases} x + 2y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 3 \end {cases} \end{align}
行基本変形
拡大係数行列にすると\begin{align} \left ( \begin {array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 3 \end {array} \right ). \end{align}
\(R_i\) を第 \(i\) 行と書くことにします。まず \(R_2\leftarrow R_2-2R_1\)、\(R_3\leftarrow R_3-R_1\) とすると、
\begin{align} \left ( \begin {array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & -3 & -3 & -3 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \end {array} \right ) \end{align}
次に \(R_2\leftarrow -\frac 13R_2\) として、
\begin{align} \left ( \begin {array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \end {array} \right ). \end{align}
\(R_3\leftarrow R_3+3R_2\)、\(R_3\leftarrow \frac 14R_3\) と進めると
\begin{align} \left ( \begin {array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end {array} \right ). \end{align}
下から戻すと \(z=1\)、\(y=0\)、\(x=1\) なので、
\begin{align} (x,\, y,\, z) = (1,\, 0,\, 1). \end{align}