2の累乗の先頭の数字を対数で追ってみました

$2^n$の先頭には、1が多く出てくる

$2^{100}$の桁数を常用対数で求めたあと、整数部分ではなく小数部分を残すと、先頭の数字まで分かることに気づきました。

たとえば

と書くと、$m$が桁数を、$10^r$が先頭の数字を決めます。

今回調べたこと

• 先頭が$d$になる小数部分$r$の範囲
• $2^1$から$2^{100}$までの先頭数字の回数
• $\log_{10}2$が無理数であること
• 小数部分の等分布とベンフォードの法則とのつながり

先頭が1になる範囲の長さは約$0.301$、9になる範囲は約$0.046$でした。実際に100個数えると、先頭が1のものは30個ありました。

等分布の証明や、現実のデータにベンフォードの法則が現れる条件までは追えていません。対数の小数部分から数の分布の話へつながったところまでをまとめています。